Nierówności logarytmiczne dla operatora Beurlinga-Ahlforsa ograniczonego do klasy funkcji radialnych

Operator Beurlinga-Ahlforsa (zwany także zespoloną transformatą Hilberta) jest operatorem singularnym grającym ważną rolę w teorii równań różniczkowych cząstkowych oraz w teorii przekształceń kwazikonforemnych. Istnieje szereg interesujących oszacowań dla tego operatora (np. nierówność Gehringa-Reicha, hipoteza T. Iwańca, itp.), mających wiele ciekawych konsekwencji w wyżej wymienionych dziedzinach. Wiele z tych oszacowań można badać za pomocą narzędzi probabilistycznych. Zajmiemy się przypadkiem gdy operator Beurlinga-Ahlforsa działa na wektorowych funkcjach radialnych; wówczas daje się go reprezentować za pomocą klasycznego operatora Hardy'ego-Littlewooda, co dalej w naturalny sposób tłumaczy wszystkie nierówności na odpowiednie oszacowania dla martyngałów.