K) bez własności Schroedera-Bernsteina

Pokazujemy konstrukcje calkowicie niespójnej zwartej przestrzeni N, która ma otwarto-domkniete zbiory M zawarty w L (zawarty w całej N), takie że N jest homeomorficzna z M (i zatem C(N) jest izometryczna z C(M))  natomiast C(L) nie jest izomorficzna z C(N). Izomorfizmy i izometrie w sensie przestrzeni Banacha.

Ten przyklad pokazuje że także w klasie przestrzeni Banach funkcji ciąglych C(K) możliwe sa dwie przestrzenie, każda z izomorficzną uzupełnioną w drugiej, ktore nie sa ze sobą izomorficzne. Klasyczny wynik Pełczyńskiego mówi ze to nie jest mozliwe jeśli obie przestrzenie sa izomorficzne ze swoimi kwadratami, co przypomina twierdzenie Schroedera-Bernsteina nt mocy zbiorów.
Problem czy można pozbyc się zalożenia o kwadratach z wyniku Pełczynskiego zostal rozwiazany po raz pierwszy przez Gowersa. My podajemy inny kontrprzyklad postaci C(K).

Przestrzeń N jest otrzymana jako pewne uzwarcenie rozlacznej rodziny przestrzeni K_i takich że C(K_i) maja małą ilośc operatorów.