Funkcje harmoniczne na kracie Z^d.

Powiemy, że funkcja f określona na kracie Z^d jest harmoniczna, jeśli jej wartość w dowolnym punkcie jest średnią arytmetyczną wartości w 2d punktach sąsiednich. Udowodnimy elementarnie, że każda nieujemna funkcja harmoniczna jest stała. Następnie pokażemy silniejsze twierdzenie: każda funkcja harmoniczna ograniczona z dołu przez wielomian jest wielomianem. Wykorzystamy własnosci półgrupy poissonowskiej \phi_t(f)(x) = E f(x + X_1 e_1+ ... + X_d e_d ), gdzie X_1,... X_d sa niezależnymi symetryzacjami zmiennej losowej o rozkładzie Poiss(t).