Dyfuzje ułamkowe na przestrzeniach metrycznych i twierdzenie Bourgaina-Brezisa-Mironescu

Jeżeli na przestrzeni metrycznej X istnieje dyfuzja ułamkowa (proces Markowa, którego gęstość przejścia spełnia własność "słabego skalowania"), to przestrzeń ta posiada wiele własnosci pokrewnych przestrzeni Euklidesowej. W szczególności przenosi się na nią twierdzenie Bourgaina-Brezisa-Mironescu mówiące, że pewne całki z funkcji rzeczywistych na X mogą być zbieżne jedynie w przypadku, gdy całkujemy funkcje stałe. Całki te wiążą się z formami Dirichleta dla omawianych procesów Markowa. Przykładami przestrzeni o omawianej własnosci są, oprócz przestrzeni Euklidesowej, niektóre fraktale samopodobne, a także pewne rozmaitości Riemannowskie.