You are not logged in | Log in

Mówimy, że \sigma-ideał I na przestrzeni X ma własność "1-1 lub stała", jeśli każdą funkcję borelowską

określoną na I-pozytywnym zbiorze borelowskim można obciąć do I-pozytywnego podzbioru, na którym

funkcja staje się 1-1 lub stała. W języku forcingowym odpowiada to zjawisku dodawania jednego stopnia

rzeczywistego przez forcing P_I. Klasyczne znane przykłady \sigma-ideałów o własności "1-1 lub stała"

obejmują: \sigma-ideał zbiorów przeliczalnych na $2^\omega$ (forcing Sacksa) i \sigma-ideał zbiorów

\sigma-zwartych na przestrzeni Baire'a (forcing Millera). Z drugiej strony, przykładem, dla którego ta

własność drastycznie nie zachodzi jest \sigma-ideał zbiorów pierwszej kategorii (forcing Cohena) lub

dowolny \sigma-ideał I, dla którego P_I dodaje liczbę Cohena. W trakcie referatu udowodnię, ze zachodzi

następująca dychotomia: Twierdzenie. Niech I będzie \sigma-ideałem generowanym przez zbiory domknięte

na przestrzeni polskiej X. Wtedy  (i) albo I ma własność "1-1 lub stała",  (ii) albo P_I dodaje liczbę Cohena.

Warto wspomnieć, że stwierdzenie, że P_I dodaje liczbę Cohena ma również czysto topologiczne

sformułowanie: istnieje borelowski I-pozytywny zbiór B i borelowska funkcja f:B-->2^\omega taka, że

przeciwobrazy przez f zbiorów pierwszej kategorii należą do I. Zaprezentowane wyniki są wspólne z

J. Zapletalem.

Dychotomia dla $\sigma$-ideałów generowanych przez zbiory domknięte.