|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: 1610.tex
% Created: Sun Oct 14 09:00 PM 2012 C
% Last Change: Sun Oct 14 09:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[verbose, textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\pagestyle{empty}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{\hfill\par}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
\par
}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{6cm}
\def\headpicture{../micek-2cm}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{16 października 2012}
\begin{document}
\section{\large Najmocniejsze twierdzenie stereometrii i~koledzy}
Oczywistym odnośnikiem do zadań ze stereometrii jest \emph{V.~V.~Prasolow
``Problems in plane and solid geometry'' volume 2}. Zadania spotykane na OMie
są jednak zwykle dużo prostsze od tego, co można tam spotkać. Ogólną metodą
rozwiązywania tych zadań jest wyobrażanie sobie sytuacji przestrzennej i/lub
sprowadzanie zadań do zadania z~geometrii płaszczyzny przez zrzutowanie czy
przecięcie z~płaszczyzną.
\begin{problem}
Środki krawędzi czworościanu są wierzchołkami wielościanu. Udowodnij, że
trzy długie przekątne tego wielościanu przecinają się w~jednym punkcie.
\end{problem}
\begin{problem}[(Prasolov, 2.1)]
Przekątna $AC_1$ sześcianu $ABCDA_1B_1C_1D_1$ przecina płaszczyznę $A_1BD$
w~punkcie $M$. Uzasadnij, że $AM = \frac{1}{3}\cdot AC_1$.
\end{problem}
\begin{thm}[Twierdzenie o~trzech prostopadłych, szczególny przypadek]
Prosta $l$, nie prostopadła do płaszczyzny $\pi$, przecina $\pi$ w~$P$. Uzasadnij, że jeśli
$l'$ jest rzutem tej prostej na $\pi$ a~$k$ jest prostą leżącą
w~płaszczyźnie $\pi$ i~zawierającą $P$ to
\[
l \perp k \iff l' \perp k.
\]
% Uwaga: dla uproszczenia możesz założyć, że $k$ i~$l$ przechodzą
% przez $P \in \pi$, ogólny dowód jest o~tyle bardziej kłopotliwy, że trzeba
% zrozumieć co znaczy, że proste nieprzecinające się są prostopadłe.
\end{thm}
\begin{problem}[(Prasolov, 2.9)]
Dowiedź prawdziwości twierdzenia.
\end{problem}
\begin{defn}
Prosta $l$ jest styczna do sfery $s$, jeżeli przecina ona sferę
w~dokładnie jednym punkcie $P$.
W~tej sytuacji promień sfery poprowadzony
do punktu $P$ i~prosta $l$
są prostopadłe.
\end{defn}
\begin{problem}
Prosta $l$ jest styczna do sfery $s$ w~$P$. Uzasadnij, że jest ona styczna
do każdego z~okręgów zawartych w~$s$ i~przechodzących przez $P$.
\end{problem}
\begin{problem}
Krawędź $AD$ czworościanu $ABCD$ jest prostopadła do płaszczyzny $ABC$.
Uzasadnij, że rzut wysokości opuszczonej z~$D$ w~trójkącie $ \triangle
BCD$ na płaszczyznę $ABC$ jest wysokością opuszczoną z~$A$ w~trójkącie $
\triangle ABC$.
% Uzasadnij, że rzut ortocentrum $ \triangle ABC$ na płaszczyznę $BCD$ jest
% ortocentrum $ \triangle BCD$.
\end{problem}
\vspace{1em}
Poniższe zadania pochodzą z~artykułu Michała Kiezy\\
\url{http://mimuw.edu.pl/delta/artykuly/delta2010-03/2010-03-kacik_przestrzenny.pdf}
\begin{thm}[Najmocniejsze twierdzenie stereometrii]
Wszystkie odcinki będące stycznymi do sfery wychodzącymi z~punktu $P$ mają równe
długości.
\end{thm}
\begin{problem}
Dowiedź prawdziwości twierdzenia.
\end{problem}
%\begin{proof}
% Wybierzmy dowolne dwa odcinki styczne $PA$ i~$PB$. Przecinając sferę płaszczyzną
% $APB$ otrzymujemy okrąg (lub punkt) a~odcinki $PA$ i~$PB$ są stycznymi do
% tego okręgu (lub, w~przypadku punktu, pokrywają się), więc mają równe długości.
%\end{proof}
\begin{problem}
Sfera $s$ jest styczna do płaszczyzny $ABS$ w~$S$ i~do płaszczyzny $ABT$
w~$T$. Uzasadnij, że $ \triangle ABS \equiv \triangle ABT$.
\end{problem}
\begin{problem}
Sfera wpisana w~czworościan $ABCD$ jest styczna do ścian $ABC$ i~$BCD$
odpowiednio w~punktach $P$ i~$Q$. Dowieść, że
\begin{enumerate}
\item $\angle BPC = \angle BQC$,
\item (troszkę obliczeń) $\angle APB = \angle CQD$.
\end{enumerate}
\end{problem}
\end{document}
|
