Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Mon Sep 10 01:00 PM 2012 C
% Last Change: Mon Sep 10 01:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 1in
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{11 września 2012}
\begin{document}
\section{Niewymierne?}
 
\begin{problem}
Czy liczba $\sqrt{2}$ jest wymierna?
\end{problem}
 
\begin{problem}
Czy liczba $\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}$ jest wymierna?
\end{problem}
 
\begin{problem}
Czy liczba $(1 - \sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt{2})^2$ jest wymierna?
 
$\star$. Czy liczba $(1 - \sqrt{2})^{2012} + (1 + \sqrt{2})^{2012}$ jest
wymierna?
\end{problem}
 
\begin{problem}
Udowodnij, że liczba $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nie jest wymierna.
 
$\star$. Czy liczba $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$ jest wymierna?
\emph{Wskazówka: $\sqrt{6} = \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$, pozbądź się
$\sqrt{3}$.}
 
$\star$. Czy liczba $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ jest wymierna?
\end{problem}
 
\begin{lem}
Liczba wymierna $p/q$ ($p,q$ są całkowite) jest pierwiastkiem wielomianu
$P(x) = x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$ o~współczynnikach
całkowitych. Uzasadnij, że $p/q$ jest całkowite.
\end{lem}
 
\begin{problem}
Udowodnij, że jeśli $x$ jest całkowity, to liczba $\sqrt{x}$ jest wymierna wtedy i~tylko wtedy, gdy
jest całkowita.
 
Udowodnij ponownie, że liczba $\sqrt{3}$ nie jest wymierna.
\end{problem}
 
\end{document}
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Mon Sep 10 01:00 PM 2012 C
% Last Change: Mon Sep 10 01:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0in
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{11 września 2012}
\begin{document}
\section{Niewymierne?}
 
\emph{Całkiem możliwe, że coś poniżej jest nie tak. Jeśli zauważycie coś
piszcie! I~nie myślcie, że się wygłupicie.}
 
\begin{problem}
Czy liczba $\sqrt{2}$ jest wymierna?
\end{problem}
 
\begin{sol}[Szkic rozwiązania]
Jeżeli $\sqrt{2} = p/q$, gdzie $p, q$ całkowite, to $2q^2 = p^2$.
Najwyższa potęga $2$ dzieląca liczbę po lewej stronie jest parzysta, a~po
prawej~--- nieparzysta.
 
Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej liczby
$\sqrt{n}$, o~ile $n$ nie jest kwadratem liczby całkowitej. Zamiast $2$
analizuje się wtedy potęgi liczb pierwszych dzielących $n$.
 
\emph{Dobrym wnioskiem z~tego zadania jest ogólna i~banalna, lecz
użyteczna prawda: } jeżeli liczba
$A$ jest niewymierna, a~$b$ wymierna, to wyrażenie $b\cdot A$ jest
wymierne tylko jeśli $b = 0$.
\end{sol}
 
\begin{problem}
Czy liczba $\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1}$ jest wymierna?
\end{problem}
 
\begin{sol}
Nie. Potęgi liczby wymiernej są wymierne, więc gdyby liczba z~zadania była
wymierna, wymierna byłaby także $\sqrt{2} + 1$, a~więc i~$\sqrt{2}$, co
nie jest prawdą.
\end{sol}
 
\begin{problem}
Czy liczba $(1 - \sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt{2})^2$ jest wymierna?
 
$\star$. Czy liczba $(1 - \sqrt{2})^{2012} + (1 + \sqrt{2})^{2012}$ jest
wymierna?
\end{problem}
 
\begin{sol}
\begin{enumerate}
\item Liczba ta jest równa $6$, a~więc jest wymierna.
\item Sytuacja jest identyczna jak w~poprzednim podpunkcie. Tutaj,
zamiast obliczać wynik bezpośrednio korzystamy ze wzoru
dwumianowego Newtona. Głosi on, że dla dowolnych liczb $a, b$
zachodzi
\[
(a + b)^n = \binom{n}{0}\cdot a^n + \binom{n}{1}\cdot a^{n-1}b +
\binom{n}{2}\cdot a^{n-2}b^2\dots + \binom{n}{n-1}\cdot ab^{n-1} +
\binom{n}{n}\cdot b^n
\]
gdzie $\binom{n}{*}$ są liczbami całkowitymi niezależnymi od $a,
b$ (wzór podaje również, że $\binom{n}{k} = n! (k!(n-k)!)^{-1}$,
ale nie będzie nam to potrzebne.
 
Wobec tego, ze wzoru
\begin{align*}
(1 + \sqrt{2})^{2012} &= \binom{2012}{0} + \binom{2012}{1}
\sqrt{2} + \binom{2012}{2}\cdot 2 + \dots\hbox{ oraz }\\
(1 - \sqrt{2})^{2012} = (1 + (-\sqrt{2}))^{2012} &= \binom{2012}{0}
-\binom{2012}{1}\sqrt{2} + \binom{2012}{2}\cdot 2 - \dots
\end{align*}
z~tych wzorów wynika, że liczba niewymierna $\binom{n}{k}\cdot
\sqrt{2}^k$ skróci się (bo $k$ jest nieparzyste!)
z~$\binom{n}{k}\cdot (-\sqrt{2})^k$ i~otrzymana liczba będzie
wymierna, a~więc całkowita.
\end{enumerate}
\end{sol}
 
\begin{problem}
Udowodnij, że liczba $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nie jest wymierna.
 
$\star$. Czy liczba $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$ jest wymierna?
\emph{Wskazówka: $\sqrt{6} = \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$, pozbądź się
$\sqrt{3}$.}
 
$\star$. Czy liczba $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ jest wymierna?
\end{problem}
 
\begin{sol}[Szkic rozwiązania]
\begin{enumerate}
\item Gdyby $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ była wymierna, po podniesieniu jej
do kwadratu stwierdzilibyśmy, że $5 + 2\sqrt{6}$ jest wymierne, co
nie jest prawdą (patrz zadanie 1).
\item \emph{Przykładowe rozwiązanie.}
 
Niech $w:=\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$ będzie wymierna, wtedy
\[
w^2 - 2w\sqrt{6} + 6 = (w - \sqrt{6})^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6}
\]
Skoro $\sqrt{6}$ jest niewymierne, to jego wystąpienia z~obu stron
skracają się, więc $w = -1$. Co jest nonsensem, bo $w > 0$
z~definicji.
 
\emph{Inne rozwiązanie}
 
Tak jak poprzednio oznaczamy $w$, ale tym razem przekształcamy
równanie do postaci\\$\sqrt{2} + \sqrt{3}\cdot (\sqrt{2} + 1) = w$,
stąd
\[
\sqrt{3} = \frac{w - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = (w -
\sqrt{2})\cdot (\sqrt{2} -1) = (w+1)\cdot\sqrt{2} + (-2-w)
\]
po podniesieniu do kwadratu stwierdzamy, że $\sqrt{2}\cdot
(w+1)\cdot (-w-2)$ jest wymierne, stąd $w+1=0$ lub $-w-2=0$, oba
przypadki wykluczone przez proste szacowanie $w > 3$.
\item Znowu: niech $w:= \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$, wtedy
$w - \sqrt{5} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ i~(używamy $q$ na oznaczenie liczby wymiernej, która nas nie
obchodzi)
\[
(w-\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 0\mbox{ czyli
} - 2w\sqrt{5} - 2\sqrt{6} + q = 0,q\in \mathbb{Q}
\]
Przerzucając $q$ na drugą stronę i~znowu podnosząc do kwadratu
stwierdzamy, że $8\cdot w\cdot \sqrt{30}$ jest wymierne, więc $w =
0$. Co jest bez sensu, skoro $w > 0$.
\end{enumerate}
\end{sol}
 
\begin{lem}
Liczba wymierna $p/q$ ($p,q$ są całkowite) jest pierwiastkiem wielomianu
$P(x) = x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$ o~współczynnikach
całkowitych. Uzasadnij, że $p/q$ jest całkowite.
\end{lem}
 
\begin{proof}
Skracając ułamek możemy założyć, że $p$ i~$q$ nie mają wspólnych
dzielników pierwszych.
 
Podstawmy $p/q$ pod $x$ otrzymując
\[
\left( \frac{p}{q} \right)^n + a_{n-1}\cdot \left( \frac{p}{q}
\right)^{n-1} + \dots + a_0 = 0
\]
i~pomnóżmy przez $q^{n-1}$ otrzymując
\[
\frac{p^n}{q} + a_{n-1}\cdot p^{n-1}
+ a_{n-2}\cdot p^{n-2}q + \dots + a_0\cdot q^{n-1} = 0
\]
Wszystkie wyrazy sumy poza $p^n/q$ są całkowite, więc i~$p^n/q$ jest
całkowite. A~stąd wynika, że i~$p/q$ jest całkowite (patrz na rozkład na
czynniki pierwsze).
\end{proof}
 
\begin{problem}
Udowodnij, że jeśli $x$ jest całkowity, to liczba $\sqrt{x}$ jest wymierna wtedy i~tylko wtedy, gdy
jest całkowita.
 
Udowodnij ponownie, że liczba $\sqrt{3}$ nie jest wymierna.
\end{problem}
 
\begin{sol}
 
Liczba $\sqrt{x}$ jest pierwiastkiem wielomianu $P(X) = X^2 - x$. Skoro
$x$ jest całkowity, to wielomian ten spełnia warunki lematu, więc wprost
z~lematu wynika, że jeśli $\sqrt{x}$ jest wymierny, to jest całkowity.
 
Skoro $1 < \sqrt{3} < 2$, to liczba ta nie jest całkowita a~więc i~(wobec
powyższego!) nie jest wymierna.
\end{sol}
\end{document}