Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

 
Rozwiązania zadań domowych PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Wed Apr 06 11:00 PM 2011 C
% Last Change: Wed Apr 06 11:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\include{style}
 
\begin{document}
\section{Algi,         \\[-1.5cm]{\small podgatunek: wielomiany}}
 
\begin{defn} Stopień wielomianu dwóch zmiennych definiujemy jako największą z~sum
    wykładników potęg przy $x$ i~$Y$ i~oznaczamy $\deg$, np. $\deg x^2 = 2$,
    $\deg x^4 + x^3y^3 + y^5 = 6$.\end{defn}
    \begin{defn}
        Pierwiastek (rzeczywisty) wielomianu dwóch zmiennych $W(x, y)$ to taka para liczb
        rzeczywistych, że $(x_0, y_0)$, że $W(x_0, y_0) = 0$.
    \end{defn}
 
\subsection{Zadania}
\begin{enumerate}
    \item Udowodnij, że jeżeli liczby $a,b\in\mathbb{R}$ są takie, że
        wielomian $W(x) = ax^3 - ax^2 + 9bx - b$ ma trzy pierwiastki
        rzeczywiste dodatnie, to są one równe.
    \item Rozwiąż układ równań
        \[
        \left\{\begin{array}[<+position+>]{c}
            x^5 - y^5 = 992\\
            x - y = 2
        \end{array}\right.
        \]
        w~liczbach rzeczywistych dodatnich $x, y$.
    \item Czy wielomian dwóch zmiennych ma zawsze tylko skończenie wiele
        pierwiastków? Jeżeli tak, czy zawsze ma ich co najwyżej tyle, ile
        wynosi jego stopień?
    \item Niech $X$ będzie zbiorem pierwiastków wielomianu dwóch zmiennych
        $W$. Udowodnij, że dowolna prosta $k$ przecina $x$ tylko w~skończenie
        wielu punktach lub cała prosta $k$ jest zawarta w~$X$.
    \item Mając dane wielomiany dwóch zmiennych $W_1, W_2$ skonstruuj wielomian dwóch
        zmiennych, który będzie
        się zerować wtedy i~tylko wtedy, gdy zerują się $W_1$ i~$W_2$.
    \item Niech $n$ będzie liczbą nieparzystą. Udowodnij, że wielomian
        \[
        (x^2+1)(x^2+2^2)\dots(x^2+n^2) + 1
        \]
        nie jest kwadratem wielomianu o~współczynnikach całkowitych.
 
        * Udowodnij, że nie jest on kwadratem wielomianu o~współczynnikach
        rzeczywistych.
\end{enumerate}
 
\subsection{Zadania domowe}
\begin{enumerate}
    \item Niech $\alpha, \beta$ będą liczbami niewymiernymi takimi, że $
        \alpha + \beta = 1$. Dowiedź, że $[m\alpha] + [m\beta] = m-1$ dla
        każdej niezerowej liczby całkowitej $m$ ($[x]$ oznacza podłogę z~$x$).
    \item Dla jakich $a$ i~$b$ liczba $1$ jest pierwiastkiem podwójnym
        wielomianu $x^n + ax + b$?
    \item Wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji wymiernej $x^{1000} + x^{900} +
        x^{90} + x^8 + \frac{1998}{x}$ dla $x>0$.
    \item * Mając dane dwa rozłączne koła skonstruuj oś potęgową okręgów
        będących brzegami tych kół.
\end{enumerate}
 
\end{document}
 

Źródło rozwiązań zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Wed Apr 06 11:00 PM 2011 C
% Last Change: Wed Apr 06 11:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\include{style2}
 
\begin{document}
 
\section{Zadania domowe -- rozwiązania}
\begin{enumerate}
    \item Niech $\alpha, \beta$ będą liczbami niewymiernymi takimi, że $
        \alpha + \beta = 1$. Dowiedź, że $[m\alpha] + [m\beta] = m-1$ dla
        każdej niezerowej liczby całkowitej $m$ ($[x]$ oznacza podłogę z~$x$).
 
        \begin{sol}
 
            Skoro $m$ jest całkowite niezerowe, a~$\alpha$ jest niewymierna,
            to $m\alpha$ jest niewymierna. Analogicznie niewymierna jest
            liczba $m\beta$.
 
            Z~definicji podłogi mamy $m\alpha - 1 < [m\alpha] \leq m\alpha$,
            przy czym $m\alpha$ jest niewymierne, więc de facto $m\alpha - 1 <
            [m\alpha] < m\alpha$.
            Stąd $-m\alpha + 1 > -[m\alpha] > -m\alpha$, czyli $-m\alpha >
            -[m\alpha] -1 > -m\alpha -1$, więc, znowu z~definicji podłogi
            $[-m\alpha] = -[m\alpha] -1$.
 
            Zatem $[m\beta] = [m(1-\alpha)] = [m - m\alpha] = m + [-m\alpha] =
            m - 1 -[m\alpha]$.
 
        \end{sol}
 
        \begin{sol}[Alternatywne, dłuższe rozwiązanie]
            \def\fr#1{ \left\{ #1 \right\}}
 
            Skoro $m$ jest całkowite niezerowe, a~$\alpha$ jest niewymierna,
            to $m\alpha$ jest niewymierna. Analogicznie niewymierna jest
            liczba $m\beta$.
 
            Niech $\fr{x} := x - [x]$ dla każdej liczby rzeczywistej (jest to
            część ułamkowa). Z~określenia podłogi jako największej liczby
            rzeczywistej nie większej od $x$ wynika, że $\fr{x}\in [0, 1)$, przy
            czym $\fr{x} \in (0, 1)$ jeżeli $x$ jest niecałkowite
            (w~szczególności dla $x$ niewymiernych).
 
            Mamy
            \[
            \fr{m\alpha} + \fr{m\beta} = m\alpha - [m\alpha] + m\beta -
            [m\beta] = m - [m\alpha] - [m\beta]\in \mathbb{Z}
            \]
            ale ustaliliśmy wyżej, że $\fr{m\alpha},\fr{m\beta}\in (0, 1)$,
            stąd $\fr{m\alpha} + \fr{m\beta} \in (0, 2)$, czyli $\fr{m\alpha}
            + \fr{m\beta} = 1$ jest jedyną możliwością.
 
            Tym samym
            \[
            1 = \fr{m\alpha} + \fr{m\beta} = m - [m\alpha] - [m\beta]
            \]
            co kończy dowód.
        \end{sol}
    \item Dla jakich $a$ i~$b$ liczba $1$ jest pierwiastkiem podwójnym
        wielomianu $x^n + ax + b$?
 
        \begin{sol}
 
            Liczba $\alpha$ jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu $W$ wtedy
            i~tylko wtedy, gdy $W(\alpha) = 0$ i~$W'(\alpha) = 0$ (wykład na
            PROSerwach).
 
            $W'(x) = nx^{n-1} + a$, więc $W'(1) = n + a$, czyli $W'(1) = 0
            \Leftrightarrow a = -n$.
 
            $W(1) = 1 + a + b$, więc $W(1) = 0
            \Leftrightarrow a + b + 1 = 0$.
 
            Stąd $W(1) = W'(1) = 0$ jest równoważne $a+b+1 = a + n = 0$, czyli
            $a = -n, b = -n + 1$.
        \end{sol}
    \item Wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji wymiernej $x^{1000} + x^{900} +
        x^{90} + x^8 + \frac{1998}{x}$ dla $x>0$.
 
        \begin{sol}
 
            Z~nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i~geometryczną:
            \[
            \frac{x^{1000} + x^{900} + x^{90} + x^8 +
            \underbrace{\frac{1}{x}+ \frac{1}{x}+\dots +\frac{1}{x}}_{1998}}{2002} \geq \sqrt{x^{1000}\cdot
            x^{900}\cdot x^{90}\cdot x^{8} \cdot
            \left(\frac{1}{x}\right)^{1998}} = 1
            \]
            lub, w~notacji ważonej:
            \[
            \frac{x^{1000} + x^{900} + x^{90} + x^8 +
            \frac{1998}{x}}{2002} \geq \sqrt{x^{1000}\cdot
            x^{900}\cdot x^{90}\cdot x^{8} \cdot
            \left(\frac{1}{x}\right)^{1998}} = 1
            \]
            przy czym równość zachodzi dla $x = 1$. Zatem najmniejsza wartość
            to $2002$ i~jest przyjmowana dla $x = 1$.
        \end{sol}
    \item * Mając dane dwa rozłączne koła skonstruuj oś potęgową okręgów
        będących brzegami tych kół.
 
        \begin{sol}
 
            \begin{minipage}{8cm}
                Poniższe rozumowanie ma niezbyt proste uzasadnienie, lecz
                oferuje prostą konstrukcyjnie metodę.
 
                Przypomnijmy następujące fakty
                \begin{itemize}
                    \item jeżeli dwa okręgi przecinają się, to ich oś potęgowa
                        jest prostą przechodzącą przez punkty przecięcia,
                    \item prosta potęgowa okręgów jest prostopadła do osi
                        łączącej środki tych okręgów,
                    \item dla dowolnych okręgów $o_1, o_2, o_3$ proste
                        potęgowe $o_1$ i~$o_2$, $o_2$ i~$o_3$, $o_3$ i~$o_1$
                        mają punkt wspólny.
                \end{itemize}
 
                Plan jest następujący: mając dwa rozłączne okręgi $o_1, o_2$ skonstruować
                okrąg $o_3$ przecinający $o_1$ i~$o_2$ i~taki, że osie
                potęgowe $o_1$ i~$o_3$ oraz $o_1$ i~$o_2$ nie są równoległe.
                Dla ustalenia uwagi może być to okrąg (patrz rys.)
                przecinający $o_1$ i~$o_2$ w~punktach, w~których przecina je
                odcinek łączący ich środki.
            \end{minipage}\begin{minipage}{8cm}
                \includegraphics{power-axis}
            \end{minipage}
 
            Wyznaczamy (to brzmi dumnie) osie potęgowe $o_1$ i~$o_3$ oraz $o_2$ i~$o_3$ oraz ich
            punkt przecięcia, który jest punktem na osi potęgowej $o_1$
            i~$o_2$. Powtarzamy procedurę z~innym okręgiem wyznaczając kolejny
            punkt na tej osi i~rysujemy prostą przez wyznaczone punkty.
 
        \end{sol}
 
\end{enumerate}
 
\end{document}