Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Wed Dec 15 06:00 PM 2010 C
% Last Change: Wed Dec 15 06:00 PM 2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{figure}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\def\abs#1{\left| #1 \right|}
 
 
%\subimport{../}{style}
\include{style}
 
\begin{document}
%\setlength{\topmargin}{-0.5in}
\section{Potęga punktu}
 
\subsection{Teoria}
\begin{minipage}{10.5cm}
    \begin{thm}[o~siecznych, o~stycznej]
        Dany jest okrąg $o$ o~środku $O$ i~promieniu $R$ oraz~punkt $P$. Jeżeli prosta $l$ przechodzi przez $P$
        i~przecina okrąg $o$ w~(niekoniecznie różnych) punktach $A$ i~$B$, to
        iloczyn $|PA| \cdot |PB|$ nie zależy od wyboru $l$, a~dokładniej
        \[
        |PA| \cdot |PB| = \abs{|PO|^{2} - R^2}.
        \]
    \end{thm}
\end{minipage}\begin{minipage}{5cm}
        \includegraphics[origin=c]{pow_in}
\end{minipage}
 
\begin{defn}[potęga punktu]
    Przy powyższych oznaczeniach liczbę (być może ujemną!) $|PO|^{2} - R^2$ nazywamy \textbf{potęgą punktu} $P$ względem $o$
    i~oznaczamy $p(P, o)$.
\end{defn}
 
\begin{cor}
    \mbox{}
    \begin{enumerate}
        \item $p(P, o) < 0$ gdy $P$ leży we wnętrzu koła o~brzegu $o$, $p(P, o) = 0$ gdy
            $P$ leży na $o$ oraz $p(P, o) > 0$, gdy $P$ leży poza $o$.
        \item przy oznaczeniach twierdzenia (nadal dla dowolnej prostej) mamy
            \[\begin{array}{l l}
            p(P, o) = -|PA|\cdot |PB| & \hbox{gdy }P\hbox{ leży wewnątrz }o\\
            p(P, o) = |PA|\cdot |PB| & \hbox{inaczej}
        \end{array}\]
        \item Jeżeli $P$ leży poza okręgiem $o$, to $p(P, o)$ jest kwadratem
            długości stycznej do $o$ przechodzącej przez~$P$.
    \end{enumerate}
\end{cor}
 
\begin{minipage}{10.5cm}
\begin{thm}
    Ustalmy dwa niewspółśrodkowe okręgi $o_1, o_2$ o~środkach $O_1, O_2$. Zbiór punktów $P$ takich, że $p(P,
    o_1) = p(P, o_2)$ jest \textbf{prostą prostopadłą} do $O_1O_2$; nazywamy
    ją \textbf{osią potęgową okręgów} $o_1,o_2$.
\end{thm}
 
\begin{cor}
    Jeżeli okręgi przecinają się, to prosta przechodzi przez punkty
    przecięcia.
\end{cor}
\end{minipage}\begin{minipage}[<+tb+>]{5.5cm}
    \includegraphics[origin=c]{eq_pow}
\end{minipage}
\begin{thm}[** Brianchona]
    Jeżeli w~sześciokąt $ABCDEF$ da się wpisać okrąg to przekątne $AD, BE, CF$
    mają punkt wspólny.
\end{thm}
 
\subsection{Zadania}
\begin{enumerate}
    \item
        Uzasadnij, że zbiór punktów mających potęgę względem danego okręgu $o$
        równą $p > 0$ jest okręgiem.
    \item \emph{Eliminacje do PTM -- przypomnienie.}
 
         Dane są okręgi $O_1, O_2$, przecinające się w punktach $A,B$.
         Punkt $P$ leży na prostej $AB$, proste $PX$, $PY$ są styczne do
         $O_1$, $O_2$ odpowiednio. Uzasadnić, że $\angle PXY = \angle PYX$.
    \item \begin{thm}[Kryterium współokręgowości]
            Jeżeli punkty $S,A,B$ oraz $S, C, D$ leżą odpowiednio na
            dwu półprostych o~początku w~$S$ to $A, B, C, D$ leżą na jednym okręgu
            wtedy i~tylko wtedy, gdy $|SA|\cdot |SB| = |SC| \cdot |SD|$.
        \end{thm}
    \item Uzasadnij, że teza poprzedniego twierdzenia zachodzi również, gdy
        $S$ leży na odcinkach $AB$ i~$CD$.
    \item Punkty $E, F$ leżą na bokach $AC, AB$ trójkąta $ABC$ odpowiednio.
        Odcinki $BE$ i $CF$ przecinają się w $M$ i zachodzi $MB\cdot ME=MC\cdot MF$.
        Udowodnij, że zachodzi $AE\cdot AC=AF\cdot AB$.
    \item Dane są okręgi $o_1, o_2$ oraz punkt $P$. Półproste $k$ i~$l$
        mają początek w~$P$ i przecinają: $k$ okrąg $o_1$ w~$A, B$, zaś $l$
        okrąg $o_2$ w~$C$, $D$ ($A\neq B$, $C\neq D$). Udowodnić, że na $A,B,C,D$ da się opisać okrąg
        wtedy i~tylko wtedy, gdy $P$ leży na osi potęgowej $o_1$ i~$o_2$.
    \item Okręgi $o_1$, $o_2$ przecinają się w~punktach $K$ i~$L$ i~są styczne
        wewnętrznie do okręgu $o$ w~punktach $A, B$ odpowiednio, przy czym
        promień $o$ jest większy od promieni $o_1$ i~$o_2$. Prosta $k$ jest
        styczna zewnętrznie do $o_1$ i~$o_2$ odpowiednio w~punktach $C$ i~$D$.
        Proste $AC$ i~$BD$ przecinają się w~$S$. Wykazać, że $K, L, S$ są
        współliniowe.
 
        \emph{Niedługo (ale nie teraz ;) udowodnimy, że (co najmniej w~części przypadków) punkt $S$ leży
        na $o$.}
\end{enumerate}
\subsection{Oś potęgowa}
\begin{enumerate}
    \item Jeśli okręgi $o_1,o_2,o_3$ są takie, że $o_1\cap o_2=\{A,B\}$, $o_2\cap o_3=\{C,D\}$,
        $o_3\cap o_1=\{E,F\}$, to proste $AB, CD, EF$ albo są wszystkie równoległe, albo przecinają się w jednym punkcie.
    \item Uzasadnij, że wysokości w~trójkącie $ABC$ przecinają się w~jednym punkcie.
 
        \emph{Rozważ okręgi o~średnicach $AB$, $BC$, $CA$.}
    \item * W~sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ mamy równości odcinków: $FA = AB$,
        $BC = CD$, $DE = EF$. Udowodnić, że wysokości trójkątów $ABC$, $CDE$,
        $EFA$, poprowadzone odpowiednio z~wierzchołków $B, D, F$ przecinają
        się w~jednym punkcie.
        \emph{Rozważ odp. okręgi.}
    \item * Nieprostopadłe przekątne $AC$ i~$BD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się
        w~punkcie $E$. Wykazać, że prosta przechodząca przez ortocentra $BCE$
        i~$ADE$ jest prostopadła do prostej przechodzącej przez środki
        odcinków $AB$ i~$CD$.
 
        \emph{Wsk.: udowodnić, że ortocentra leżą na osi potęgowej okręgów,
        których średnicami są $AB$ i~$CD$.}
\end{enumerate}
 
\end{document}
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Wed Dec 15 06:00 PM 2010 C
% Last Change: Wed Dec 15 06:00 PM 2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{figure}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\def\abs#1{\left| #1 \right|}
 
 
%\subimport{../}{style}
\include{style}
 
\begin{document}
%\setlength{\topmargin}{-0.5in}
\section{Potęga punktu}
 
\subsection{Teoria}
\begin{minipage}{10.5cm}
    \begin{thm}[o~siecznych, o~stycznej]
        Dany jest okrąg $o$ o~środku $O$ i~promieniu $R$ oraz~punkt $P$. Jeżeli prosta $l$ przechodzi przez $P$
        i~przecina okrąg $o$ w~(niekoniecznie różnych) punktach $A$ i~$B$, to
        iloczyn $|PA| \cdot |PB|$ nie zależy od wyboru $l$, a~dokładniej
        \[
        |PA| \cdot |PB| = \abs{|PO|^{2} - R^2}.
        \]
    \end{thm}
\end{minipage}\begin{minipage}{5cm}
        \includegraphics[origin=c]{pow_in}
\end{minipage}
 
\begin{defn}[potęga punktu]
    Przy powyższych oznaczeniach liczbę (być może ujemną!) $|PO|^{2} - R^2$ nazywamy \textbf{potęgą punktu} $P$ względem $o$
    i~oznaczamy $p(P, o)$.
\end{defn}
 
\begin{cor}
    \mbox{}
    \begin{enumerate}
        \item $p(P, o) < 0$ gdy $P$ leży we wnętrzu koła o~brzegu $o$, $p(P, o) = 0$ gdy
            $P$ leży na $o$ oraz $p(P, o) > 0$, gdy $P$ leży poza $o$.
        \item przy oznaczeniach twierdzenia (nadal dla dowolnej prostej) mamy
            \[\begin{array}{l l}
            p(P, o) = -|PA|\cdot |PB| & \hbox{gdy }P\hbox{ leży wewnątrz }o\\
            p(P, o) = |PA|\cdot |PB| & \hbox{inaczej}
        \end{array}\]
        \item Jeżeli $P$ leży poza okręgiem $o$, to $p(P, o)$ jest kwadratem
            długości stycznej do $o$ przechodzącej przez~$P$.
    \end{enumerate}
\end{cor}
 
\begin{minipage}{10.5cm}
\begin{thm}
    Ustalmy dwa niewspółśrodkowe okręgi $o_1, o_2$ o~środkach $O_1, O_2$. Zbiór punktów $P$ takich, że $p(P,
    o_1) = p(P, o_2)$ jest \textbf{prostą prostopadłą} do $O_1O_2$; nazywamy
    ją \textbf{osią potęgową okręgów} $o_1,o_2$.
\end{thm}
 
\begin{cor}
    Jeżeli okręgi przecinają się, to prosta przechodzi przez punkty
    przecięcia.
\end{cor}
\end{minipage}\begin{minipage}[<+tb+>]{5.5cm}
    \includegraphics[origin=c]{eq_pow}
\end{minipage}
\begin{thm}[** Brianchona]
    Jeżeli w~sześciokąt $ABCDEF$ da się wpisać okrąg to przekątne $AD, BE, CF$
    mają punkt wspólny.
\end{thm}
 
\subsection{Zadania}
\begin{enumerate}
    \item
        Uzasadnij, że zbiór punktów mających potęgę względem danego okręgu $o$
        równą $p > 0$ jest okręgiem.
 
        \begin{sol}
 
            Niech $R$ będzie promieniem $o$.
 
            Punkt $P$ należy do tego zbioru wtedy i~tylko wtedy, gdy $p = p(P,
            o) = |PO|^2 - R^2$, czyli gdy $|PO| = \sqrt{p + R^2}$, innymi
            słowy gdy $P$ leży na okręgu o~środku $O$ i~promieniu
            $\sqrt{p + R^2}$.
        \end{sol}
 
    \item \emph{Eliminacje do PTM -- przypomnienie.}
 
         Dane są okręgi $O_1, O_2$, przecinające się w punktach $A,B$.
         Punkt $P$ leży na prostej $AB$, proste $PX$, $PY$ są styczne do
         $O_1$, $O_2$ odpowiednio. Uzasadnić, że $\angle PXY = \angle PYX$.
 
         \begin{sol}
 
             Prosta $AB$ jest osią potęgową $O_1$ i~$O_2$, skoro więc punkt
             $P$ leży na niej to $p(P, O_1) = p(P, O_2)$. Z~teorii wiemy, że
             $p(P, O_1) = |PX|^2$, $p(P, O_2) = |PY|^2$, stąd $|PX|^2 =
             |PY|^2$, $|PX| = |PY|$, więc trójkąt $PXY$ jest równoramienny, co
             kończy dowód.
         \end{sol}
    \item \begin{thm}[Kryterium współokręgowości]
            Jeżeli punkty $S,A,B$ oraz $S, C, D$ leżą odpowiednio na
            dwu półprostych o~początku w~$S$ to $A, B, C, D$ leżą na jednym okręgu
            wtedy i~tylko wtedy, gdy $|SA|\cdot |SB| = |SC| \cdot |SD|$.
        \end{thm}
 
        \emph{Zakładamy tutaj i~dalej, że owe dwie półproste nie tworzą
        prostej, a~punkty $A,B$ i~$C,D$ są różne.}
 
        \begin{sol}
 
            ``wtedy''.
 
            Jeżeli $A, B, C, D$ leżą na jednym okręgu, to $|SA|\cdot |SB| =
            |SC| \cdot |SD|$.
 
            ``tylko wtedy''.
 
            Załóżmy zatem, że $|SA|\cdot |SB| =
            |SC| \cdot |SD|$. Okrąg opisany na $A, B, C$ przecina półprostą
            $SC$ w~punkcie $D'$ (gdy jest on styczny przyjmujemy $D' = C$).
            Korzystając z~implikacji ``wtedy'' obliczam $|SA|\cdot |SB| =
            |SC| \cdot |SD|$.
 
            Łącznie $|SC|\cdot |SD| = |SA|\cdot |SB| = |SC| \cdot |SD'|$,
            czyli $|SD| = |SD'|$, $D = D'$.
        \end{sol}
    \item Uzasadnij, że teza poprzedniego twierdzenia zachodzi również, gdy
        $S$ leży na odcinkach $AB$ i~$CD$.
 
        \begin{sol}
            Identycznie jak w~poprzednim przypadku.
        \end{sol}
    \item Punkty $E, F$ leżą na bokach $AC, AB$ trójkąta $ABC$ odpowiednio.
        Odcinki $BE$ i $CF$ przecinają się w $M$ i zachodzi $MB\cdot ME=MC\cdot MF$.
        Udowodnij, że zachodzi $AE\cdot AC=AF\cdot AB$.
 
        \begin{sol}
            Skoro $MB\cdot ME=MC\cdot MF$ to (z~powyższego kryterium) $B, E, C, F$ leżą na jednym
            okręgu $o$, a~skoro tak to $AE\cdot AC = p(A, o) = AF\cdot AB$.
        \end{sol}
    \item Dane są okręgi $o_1, o_2$ oraz punkt $P$. Półproste $k$ i~$l$
        mają początek w~$P$ i przecinają: $k$ okrąg $o_1$ w~$A, B$, zaś $l$
        okrąg $o_2$ w~$C$, $D$ ($A\neq B$, $C\neq D$). Udowodnić, że na $A,B,C,D$ da się opisać okrąg
        wtedy i~tylko wtedy, gdy $P$ leży na osi potęgowej $o_1$ i~$o_2$.
 
        \begin{sol}
            Oba warunki z~zadania są równoważne równości $PA\cdot PB = PC\cdot
            PD$.
        \end{sol}
    \item Okręgi $o_1$, $o_2$ przecinają się w~punktach $K$ i~$L$ i~są styczne
        wewnętrznie do okręgu $o$ w~punktach $A, B$ odpowiednio, przy czym
        promień $o$ jest większy od promieni $o_1$ i~$o_2$. Prosta $k$ jest
        styczna zewnętrznie do $o_1$ i~$o_2$ odpowiednio w~punktach $C$ i~$D$.
        Proste $AC$ i~$BD$ przecinają się w~$S$. Wykazać, że $K, L, S$ są
        współliniowe.
 
        \begin{sol}
            Niech $O, O_1,O_2$ oznaczają środki odpowiednich okręgów.
 
            Potrzebny nam będzie fakt, że $S$ leży na $o$.
            Niech $S'$ będzie przecięciem $BD$ z~$o$. Punkty $B, O_2, O$
            są współliniowe, więc trójkąty $BO_2D$ i~$BOS'$ są równoramienne
            o~wspólnym kącie, stąd $\angle BDO_2 = \angle BS'O$, zatem $CD$
            jest równoległe do stycznej do $o$ w~punkcie $S'$.
 
            Analogicznie konstruując z~$AC$ punkt $S''$ stwierdzamy, że
            styczna w~$S''$ jest również równoległa do $CD$, a~więc $S' = S''$
            (punkty $S'$ i~$S''$ leżą po tej samej stronie $CD$).
 
            \begin{minipage}[<+tb+>]{9cm}
 
                To dowodzi, że $S' = S''$ jest punktem przecięcia $AC$ i~$BD$,
                więc $S' = S$.
 
                Korzystając z~poprzedniego zadania, $S$ leży na $KL$, czyli na
                osi potęgowej $O_1$ i~$O_2$ jeżeli na $ABCD$ da się opisać
                okrąg.
 
                Trójkąty $BOS$ i~$BO_2D$ są równoramienne, więc zachodzą równości
                \[\angle BAC = \angle BAS = \frac{1}{2}\angle BOS = 90^\circ - \angle OBS\]
                oraz
                \[
                \angle BDC = \angle BDO_2 + \angle O_2DC = \angle BDO_2 +
                90^\circ
                \]
                stąd
                \[
                \angle BDC + \angle BAC = 180^\circ,
                \]
                czyli na $ABCD$ da się opisać okrąg, co kończy dowód.
            \end{minipage}\begin{minipage}[<+tb+>]{8cm}
                \includegraphics{7.pdf}
            \end{minipage}
        \end{sol}
\end{enumerate}
\subsection{Oś potęgowa}
\begin{enumerate}
    \item Jeśli okręgi $o_1,o_2,o_3$ są takie, że $o_1\cap o_2=\{A,B\}$, $o_2\cap o_3=\{C,D\}$,
        $o_3\cap o_1=\{E,F\}$, to proste $AB, CD, EF$ albo są wszystkie równoległe, albo przecinają się w jednym punkcie.
 
        \begin{sol}
 
            Niech $S$ będzie punktem przecięcia $AB$ i~$CD$. Skoro są to osie
            potęgowe to $p(S, o_1) = p(S, o_2)$ i~$p(S, o_2) = p(S, o_3)$,
            a~więc również $p(S, o_1) =  p(S, o_3)$, czyli $P\in EF$.
        \end{sol}
    \item Uzasadnij, że wysokości w~trójkącie $ABC$ przecinają się w~jednym punkcie.
 
        \emph{Rozważ okręgi o~średnicach $AB$, $BC$, $CA$.}
 
        \begin{sol}
 
            Niech $o_{AB}, o_{BC}, o_{CA}$ oznaczają okręgi o~średnicach $AB,
            BC, CA$ odpowiednio. Zauważmy, że osiami potęgowymi par okręgów są
            wysokości w~trójkącie.
 
            Zaiste niech $k$ oznacza oś potęgową $o_{AB}$ i~$o_{CA}$. Wtedy
            $A\in k$, gdyż $A\in o_{AB}\cap o_{CA}$, a~ponadto $k\perp
            M_{AB}M_{CA} || BC$, czyli $k$ jest wysokością.
 
            \emph{$M_{XY}$ oznacza środek odcinka $XY$.}
        \end{sol}
    \item * W~sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ mamy równości odcinków: $FA = AB$,
        $BC = CD$, $DE = EF$. Udowodnić, że wysokości trójkątów $ABC$, $CDE$,
        $EFA$, poprowadzone odpowiednio z~wierzchołków $B, D, F$ przecinają
        się w~jednym punkcie.
        \emph{Rozważ odp. okręgi.}
 
        \begin{sol}
 
            Rozważmy okręgi $o_A, o_C, o_E$ o~środkach w~$A, C, E$
            i~promieniach $AB, CD, EF$ odpowiednio.
 
            Analogicznie jak w~poprzednim zadaniu udowadniamy, że osiami
            potęgowymi okręgów są wysokości z~treści zadania.
 
            Osie te mają punkt wspólny, co kończy dowód.
        \end{sol}
    \item * Nieprostopadłe przekątne $AC$ i~$BD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się
        w~punkcie $E$. Wykazać, że prosta przechodząca przez ortocentra $BCE$
        i~$ADE$ jest prostopadła do prostej przechodzącej przez środki
        odcinków $AB$ i~$CD$.
 
        \emph{Wsk.: udowodnić, że ortocentra leżą na osi potęgowej okręgów,
        których średnicami są $AB$ i~$CD$.}
 
        \begin{sol}
            Niech dla skrótu $o_{XY}$ oznacza okrąg o~średnicy $XY$, $h_X$ dla $X\in
            \{E, B, C\}$ oznacza wysokość w~trójkącie $EBC$ wypuszczoną
            z~wierzchołka $X$, a~$k\cap l \cap n$ oznacza przecięcie prostych
            $k, l, n$.
 
            Niech $H$ oznacza ortocentrum $BCE$, innymi słowy $H = h_E \cap
            h_B \cap h_C$. Zauważmy, że $h_B, h_E, h_C$ są osiami potęgowymi
            par okręgów: $o_{AB}$ i~$o_{EB}$, $o_{EB}$ i~$o_{EC}$, $o_{EC}$
            i~$o_{CD}$.
 
            Stąd $p(o_{AB}, H) = p(o_{EB}, H) = p(o_{EC}, H) = p(o_{CD}, H)$,
            czyli $H$ leży na osi potęgowej $o_{AB}$ i~$o_{CD}$.
 
            Analogicznie ortocentrum $ADE$ leży na tej osi, zatem prosta
            przechodząca przez te (różne!) punkty jest osią potęgową $o_{AB}$
            i~$o_{CD}$, czyli jest prostopadła do prostej łączącej środki
            tych okręgów.
        \end{sol}
\end{enumerate}
 
\end{document}