Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: nierownosci-trudniejsze.tex
%     Created: Thu Oct 28 02:00 PM 2010 C
% Last Change: Thu Oct 28 02:00 PM 2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
 
\subimport{./}{style}
%\include{style}
 
\begin{document}
\section{Alfowanie i denormalizacja}
 
\subsection{Grupowanie}
\begin{enumerate}
\item Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
$$\frac{\sqrt{a^2bc} + \sqrt{ab^2c} + \sqrt{abc^2} + (a+b+c)^2}{\sqrt{a+b+c}\sqrt{abc}} \geq 4\sqrt{3}$$
\source{Koło PTMu - 6 młodsi grudzień 2006}
%odp.\ grupowanie
 
\item Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b$ zachodzi
$$\frac{a^2+b^2}{ab} + \frac{ab}{a^2 + b^2} \geq \frac{5}{2}$$
\source{Zadania przygotowawcze do konkursu PTM}
%odp.\ grupowanie
 
\item Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
$$\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} \geq 4\left(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}\right)$$
%odp.\ grupowanie
\source{Pawłowski}
\end{enumerate}
 
\subsection{Alfowanie}
 
\begin{enumerate}
\item Niech $a,b$ będą liczbami dodatnimi, takimi, że $a+b = 1$. Udowodnić, że
$$\frac{a^2}{a+1} + \frac{b^2}{b+1} \geq \frac{1}{3}$$
\source{Jungary 1996, Hoojoo Lee}
%comment: można też z Jensena
%przyblizenie wymierne
 
\item Wykazać, że dla liczb dodatnich $a,b,c,d$ zachodzi nierówność
$$\frac{a^4}{a^3 + a^2b + b^3} + \frac{b^4}{b^3 + b^2c + c^3} + \frac{c^4}{c^3 + c^2d + d^3} + \frac{d^4}{d^3 + d^2a + a^3} \geq \frac{a+b+c+d}{3}$$
\source{Staszic}
%przyblizenie wymierne
\end{enumerate}
 
\subsection{Denormalizacja, nowe horyzonty}
\begin{enumerate}
    \item Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność Nesbitta
        $$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$$
        %szacowanie przez a^{3/2}/suma
        \source{known}
    \item
        Niech $a,b,c$ będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Udowodnij, że
        \[
        \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ac}} +
        \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1.
        \]
 
\end{enumerate}
 
\end{document}