Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{Do boju}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Wykazać, że jeśli $a+b+c=1$ oraz $a,b,c>0$ to \[a^4+b^4+c^4\geq \frac{1}{27}\]
\item Na przyjęciu w krainie Baranów, Dymówek, Kaczek, Koników i Małp jest $n$ dziewcząt i $n$ człopców. Każda dziewczyna lubi $r$ chłopców, a każdy chłopiec lubi $s$ dziewcząt. Udowodnić, że jeżeli $r+s>n$, to istnieje para, która lubi się nawzajem, a jeżeli $r+s\leq n$ to może być tak, że każde uczucie jest nieodwzajemnione.
\item Rozstrzygnij, czy istnieje taki ciąg liczb naturalnych $(a_n)$, że dla dowolnej liczby naturalnej $k$ w ciągu $a_1+k,a_2+k,\cdots$ jest skończenie wiele liczb pierwszych.
\item Niech $ABC$ będzie trójkątem ostrokątnym, $AD,BE,CF$ jego wysokościami, a $H$ punktem przecięcia tych wysokości. Udowodnij, że $\angle EFH=\angle DFH$ (z czego wynika, że $H$ jest środkiem okręgu wpisanego w $DEF$).
\end{enumerate}
\end{document}
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{Do boju}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Wykazać, że jeśli $a+b+c=1$ oraz $a,b,c>0$ to \[a^4+b^4+c^4\geq \frac{1}{27}\]
\textbf{Rozwiązanie}: Z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i kwadratową dla liczb $a^2,b^2,c^2$ mamy \[\sqrt{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\],
\[\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\]
Z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i kwadratową dla liczb $a,b,c$ jest
\[\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq \frac{a+b+c}{3}\]
Stąd i z założenia mamy \[\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq \frac{a+b+c}{3}=\frac{1}{3}\]
Po podniesieniu do 4. potęgi i pomnożeniu obu stron przez 3 dostajemy tezę.
\item Na przyjęciu w krainie Baranów, Dymówek, Kaczek, Koników i Małp jest $n$ dziewcząt i $n$ człopców. Każda dziewczyna lubi $r$ chłopców, a każdy chłopiec lubi $s$ dziewcząt. Udowodnić, że jeżeli $r+s>n$, to istnieje para, która lubi się nawzajem, a jeżeli $r+s\leq n$ to może być tak, że każde uczucie jest nieodwzajemnione.\\
\textbf{Rozwiązanie}: Niech $a_{ij}$ mówi, czy człopak $i$ lubi dziewczynę $j$: $a_{ij}=1$ jeżeli lubi, a $0$ inaczej. Analogicznie niech $b_{ji}$ mówi, czy dziewczyna $j$ lubi chłopaka $i$.\\
Liczb $a_{ij}$ i $b_{ji}$ jest po $n^2$. Wśród tych liczb jest $(r+s)n$ jedynek i reszta zer.\\
Jeżeli dla wszystkich par $(i,j)$ byłoby uczucie nieodwzajemnione, to $a_{ij}=0 \vee b_{ji}=0$. Wtedy mielibyśmy najwyżej $n^2$ jedynek (bo w każdej z $n^2$ rozłącznych par liczb $a_{ij},b_{ji}$ jest najwyżej jedna $1$), czyli $(r+s)n\leq n^2$, $r+s\leq n$. To zaś pokazuje (rozumujemy przez zaprzeczenie), że jeśli $r+s>n$, to istnieje para, która lubi się nawzajem.\\
Musimy teraz znaleźć, dla dowolnych $n$, $r,s:r+s\leq n$, takie ustawienie lubień, że żadne uczucie nie jest odwzajemnione.\\
Jeżeli $r=0$ lub $s=0$, to łatwo da się je znaleźć. Załóżmy dalej, że $r,s>0$.\\
Niech chopcy i dziewczyny będą ponumerowani od $0$ do $n-1$. Niech będzie tak, że chłopak $i$ lubi dziewczyny $i,i+1 \mod n,i+2 \mod n,\cdots,i+s-1 \mod n$ (ew. żadnej, jeżeli $s=0$) i niech dziewczyna $j$ lubi chłopców $j+1 \mod n,j+2 \mod n,\cdots, j+r \mod n$.\\
W tym ustawieniu każdy chłopak lubi $s$ dziewczyn i każda dziewczyna lubi $r$ chłopców. Ponadto każde lubienie jest nieodwzajemnione. Faktycznie załóżmy, że $i,j$ są takie, że chłopak $i$ lubi dziewczynę $j$. Stąd \[j\in\{i,i+1 \mod n,i+2 \mod n,\cdots,i+s-1 \mod n\}\]
Niech $j=i+k \mod n$. Żeby dziewczyna $j$ lubiła chłopaka $i$ musi być $i\in\{j+1 \mod n,j+2 \mod n,\cdots,j+r-1 \mod n\}$, czyli $i\in\{i+k+1\mod n,i+k+2\mod n,\cdots,i+k+r-1 \mod n\}$, czyli $0\in\{k+1\mod n,k+2\mod n,\cdots,k+r-1 \mod n\}$. Ale $k\geq0$ i $k+r\leq r+s-1<n$. Stąd w ciągu $(k+1,k+2,\cdots,k+r-1)$  nie ma liczby podzielnej przez $n$, więc $0\not\in\{k+1\mod n,k+2\mod n,\cdots,k+r-1 \mod n\}$. Sprzeczność dowodzi, że każde uczucie jest nieodwzajemnione.
\item Rozstrzygnij, czy istnieje taki ciąg liczb naturalnych $(a_n)$, że dla dowolnej liczby naturalnej $k$ w ciągu $a_1+k,a_2+k,\cdots$ jest skończenie wiele liczb pierwszych.\\
\textbf{Rozwiązanie}: To zadanie byłoby zbyt trudne gdyby nie istniał, bo jak udowodnić, że coś jest pierwsze, więc istnieje.\\
Najprostszym sposobem na zapewnienie, że $a_i+k$ nie jest pierwsze, jest $k|a_i$. Zgodnie z tą ideą bierzemy $a_i=i!$. W ten sposób dla $k>1$ na pewno wyrazy $a_k+k=k!+k,a_{k+1}=(k+1)!+k,\cdots$ będą podzielne przez $k$, więc wszystko gra. Zostaje przypadek $k=1$.\\
Zauważmy, że jeżeli weźmiemy $a_k=k!q$, $q\in \mathbb{Z}_+$, to nic się wyżej nie psuje. Chcemy tak dobrać $q$, że $a_k+1=k!+1$ nie jest pierwsze. Można to zrobić np. biorąc $a_k=(k!)^3$. Wtedy $a_k+1=(k!)^3+1^3=(k!+1)((k!)^2 - k! +1)$, co na pewno jest pierwsze, jeżeli tylko $(k!)^2 - k! +1>1$, co zachodzi dla $k>1$.
\item Niech $ABC$ będzie trójkątem ostrokątnym, $AD,BE,CF$ jego wysokościami, a $H$ punktem przecięcia tych wysokości. Udowodnij, że $\angle EFH=\angle DFH$ (z czego wynika, że $H$ jest środkiem okręgu wpisanego w $DEF$).\\
\textbf{Rozwiązanie}: Zauważmy, że na czworokącie $AEHF$ da się opisać okrąg. Faktycznie $\angle AEH=90^{\circ}$ i $\angle AFH=90^{\circ}$, więc $\angle AEH+\angle AFH=180^{\circ}$, co już gwarantuje, że okrąg da się opisać. Analogicznie okrąg da się opisać na $BFHD$.\\
Z równości kątów wpisanych w okrąg i opartych na tym samym łuku mamy \[\angle EFH=\angle EAH,\angle DFH=\angle DBH\]
Ponadto mamy $\angle EAH=\angle CAD=90^{\circ}-\angle ACB$ (bo $\angle ADC=90^{\circ}$). Analogicznie $\angle DBH=90^{\circ}-\angle ACB$, co już dowodzi równości kątów $\angle EFH$ i $\angle DFH$.
\end{enumerate}
\end{document}