Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{To już koniec...}
\author{Ostatnia seria przygotowawcza}
\date{}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Niech $n,m\in\mathbb{Z}_+$ będą takie, że $NWW(m,n)+NWD(m,n)=m+n$. Udowodnij, że jedna z tych liczb dzieli drugą.
\item Dane są 2 rozłączne zbiory $\mathbb{A}$ i $\mathbb{B}$, których sumą jest $\mathbb{Z}_+$. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieją takie liczby naturalne $a,b$ większe od $n$, że $\{a,b,a+b\}$ jest zawarte w $\mathbb{A}$ lub zawarte w $\mathbb{B}$. (Wskazówka: Najpierw znajdź jakiekolwiek takie liczby :)
\item Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
\[1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq \frac{6}{a+b+c}\].
\item (*?) Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $\angle ACB=90^{\circ}$. Niech $M$ będzie środkiem przeciwprostokątnej $AB$, $H$ spodkiem (punktem przecięcia z $AB$) wysokości poprowadzonej z $C$, a $P$ punktem wewnątrz trójkąta, takim, że $|AP|=|AC|$. Udowodnić, że $PM$ jest dwusieczną (wewnętrzną) kąta $\angle BPH$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\angle BAC=60^{\circ}$.
\end{enumerate}
\end{document}
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{To już koniec...}
\author{Ostatnia seria przygotowawcza}
\date{}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Niech $n,m\in\mathbb{Z}_+$ będą takie, że $NWW(m,n)+NWD(m,n)=m+n$. Udowodnij, że jedna z tych liczb dzieli drugą.\\
\textbf{Rozwiązanie}: Niech $n\geq m$ (wszystko jest symetryczne, więc można to założyć). Jest $NWW(m,n)=n\cdot q$. Jeżeli $q\geq 2$, to $NWW(m,n)\geq 2n\geq n+m$, więc $NWW(m,n)+NWD(m,n)>m+n$. Stąd $q=1$, co dowodzi, że $NWW(n,m)=n$, a więc $m|n$.
\item Dane są 2 rozłączne zbiory $\mathbb{A}$ i $\mathbb{B}$, których sumą jest $\mathbb{Z}_+$. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieją takie liczby naturalne $a,b$ większe od $n$, że $\{a,b,a+b\}$ jest zawarte w $\mathbb{A}$ lub zawarte w $\mathbb{B}$. (Wskazówka: Najpierw znajdź jakiekolwiek takie liczby :)\\
\textbf{Rozwiązanie}: Znajdźmy najpierw jakiekolwiek liczby spełniające.\\
Załóżmy, że $1\in\mathbb{A}$. Gdyby $2\in\mathbb{A}$, to $\{1,1,2\}\subset \mathbb{A}$, więc znaleźliśmy. Załóżmy $2\in\mathbb{B}$. Gdyby $4\in\mathbb{B}$, to $\{2,2,4\}\subset\mathbb{B}$, więc też znaleźliśmy. Załóżmy $4\in\mathbb{A}$. $1,4\in\mathbb{A}$, stąd gdyby $5\in\mathbb{A}$, to $\{1,4,5\}\subset\mathbb{A}$, stąd $5\in\mathbb{B}$.\\
Gdyby $3\in\mathbb{A}$, to $\{1,3,4\}\subset\mathbb{A}$.\\
Gdyby $3\in\mathbb{B}$, to $\{2,3,5\}\subset\mathbb{B}$.\\
Z powyższego wynika, że zawsze znajdziemy taką trójkę liczb.\\
Rozważmy zbiór liczb $\{n+1,2(n+1),3(n+1),\cdots\}$. Całe poprzednie rozumowanie przenosi się na ten zbiór, więc znajdziemy w nim liczby $a,b$ takie, że $\{a,b,a+b\}$ zawarte jest w którymś z $\mathbb{A},\mathbb{B}$. Oczywiście te liczby będą większe od $n$, bo wszystkie liczby z tego zbioru są większe od $n$.
\item Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
\[1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq \frac{6}{a+b+c}\]
\textbf{Rozwiązanie}: Mamy $\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq \frac{a+b+c}{3}$, stąd po przekształceniach dostajemy $a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2$, a więc 
\[ab+bc+ca\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^2\]
Można to również udowodnić za pomocą ciągów jedno-monotonicznych.\\
Stąd \[1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq 1+ \frac{9}{(a+b+c)^2}\]
Niech $x=\frac{3}{a+b+c}$. Mamy do udowodnienia nierówność \[1+ \frac{9}{(a+b+c)^2}\geq \frac{6}{a+b+c}\]
czyli $1+x^2\geq 2x$. Jest ona równoważna $(x-1)^2\geq 0$.
\item (*?) Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $\angle ACB=90^{\circ}$. Niech $M$ będzie środkiem przeciwprostokątnej $AB$, $H$ spodkiem (punktem przecięcia z $AB$) wysokości poprowadzonej z $C$, a $P$ punktem wewnątrz trójkąta, takim, że $|AP|=|AC|$. Udowodnić, że $PM$ jest dwusieczną (wewnętrzną) kąta $\angle BPH$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\angle BAC=60^{\circ}$.
\end{enumerate}
\end{document}