Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{Zadanka do OMa 2., trochę więcej niż ostatnio}
\date{}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$. Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na $ABC$, $M$ będzie środkiem ciężkości $ABC$, zaś $H$ będzie ortocentrum (punktem przecięcia wysokości) $ABC$. Niech ponadto $D,E,F$ będą środkami boków $BC, CA, AB$ odpowiednio.
  \begin{enumerate}
  \item Udowodnij, że $O$ pokrywa się z ortocentrum trójkąta $DEF$.
  \item Wykaż, że $M$ pokrywa się ze środkiem ciężkości $DEF$.
  \item Udowodnij, że środek okręgu opisanego na $DEF$ pokrywa się ze środkiem odcinka $OH$. Wskazówka: na przecięciu których prostych leży ten środek?
  \item Powyższe 3 podpunkty liczą się jako 3 zadania.
  \end{enumerate}
\item Wykazać, że jeżeli $ABCD$ jest prostokątem i $P$ leży na okręgu opisanym na $ABCD$, to $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$.
\item Znaleźć wszystkie takie $n\in\mathbb{Z}_+$, że $5\not|n$ i $n^4 + 4^n$ jest liczbą pierwszą.
\item Jest tylko 5 zadań, więc obniżam próg na chałwę: trzeba rozwiązać $3/5$, żeby ją dostać. Powodzenia. Mam nadzieję, że żadnego błędu nie ma, jak coś zauważycie, to od razu krzyczcie.
\end{enumerate}
\end{document}
 
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{Zadanka do OMa 2., trochę więcej niż ostatnio}
\date{}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$. Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na $ABC$, $M$ będzie środkiem ciężkości $ABC$, zaś $H$ będzie ortocentrum (punktem przecięcia wysokości) $ABC$. Niech ponadto $D,E,F$ będą środkami boków $BC, CA, AB$ odpowiednio.
  \begin{enumerate}
  \item Udowodnij, że $O$ pokrywa się z ortocentrum trójkąta $DEF$.\\
  \textbf{Rozwiązanie}: Zauważmy, że mamy $\frac{AE}{AF}=\frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{1}{2}AC}=\frac{AB}{AC}$, więc z tw. Talesa $EF||BC$ (i tak samo $DE||AB$ i $FD||AC$).\\
  Wiemy, że $O$ leży na przecięciu symetralnych boków $ABC$. Weźmy symetralną boku $AB$. Przechodzi ona przez punkt $F$ i jest prostopadła do $AB$, a więc jest też prostopadła do $DE$, jest więc wysokością w $DEF$ spuszczoną z wierzchołka $F$.\\
  Analogicznie pozostałe symetralne są wysokościami $O$ leży na przecięciu wysokości w $DEF$, więc $O$ to ortocentrum $DEF$.
  \item Wykaż, że $M$ pokrywa się ze środkiem ciężkości $DEF$.\\
  \textbf{Rozwiązanie}: Oznaczmy jako $G$ punkt przecięcia środkowej $AD$ z $EF$. Wiemy, że $EF||BC$, stąd $GE||DC$ i $GF||DB$, więc z tw. Talesa
  \[\frac{GE}{DC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}\]
  \[\frac{GF}{DB}=\frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}\]
  Stąd oraz z faktu, że $DB=DC$ mamy $\frac{GE}{GF}=\frac{GE}{DC}\frac{DB}{GF}=2\cdot\frac{1}{2}=1$. $G$ jest więc środkiem $EF$, więc środkowa $GD$ pokrywa się ze środkową $AD$, stąd $M$ pokrywa się z środkiem ciężkości $DEF$.
  \item Udowodnij, że środek okręgu opisanego na $DEF$ pokrywa się ze środkiem odcinka $OH$. Wskazówka: na przecięciu których prostych leży ten środek?\\
  \textbf{Pierwszy sposób}: Udowodnimy, że symetralne w trójkącie $DEF$ przechodzą przez środek odcinka $OH$. A ściślej udowodnimy to, bez straty ogólności, dla symetralnej boku $EF$.\\
  Niech $X$ oznacza rzut $A$ na $EF$ a $Y$ oznacza rzut $O$ na $EF$. Wiemy, że prosta prostopadła do $EF$ i przechodząca przez środek odcinka $XY$ przechodzi przez środek odcinka $OH$ (z Talesa). Chcielibyśmy zatem, żeby środek odcinka $XY$ był środkiem $EF$ i to już wystarcza, żeby udowodnić tezę.\\
  Środek odcinka $XY$ jest środkiem $EF$ wtedy i tylko wtedy, gdy $XF=YE$. Zauważmy, że $AX||DY$ (obie są prostopadłe do $EF$) i $DE||AF$. Stąd (i z tego, że punkty $E,F$ leżą po przeciwnych stronach $AD$) mamy $\angle XAF=\angle EDY$. Ponadto $\angle AXF=\angle DYE=90$, więc $\triangle AXF\sim \triangle DYE$ (cecha kkk) a ponadto $AF=DE=\frac{1}{2}AB$, więc $\triangle AXF\equiv \triangle DYE$ i $XF=YE$, co już dowodzi tezy.\\
  \textbf{Drugi sposób}: Rozważmy jednokładność $J$ o środku w $M$ i skali $-\frac{1}{2}$ (o jednokładności będzie na którymś z najbliższych kółek). Wiemy, że środkowe przecinają się w stosunku $2:1$, więc mamy np. $2DM=MA$ i $D,A$ leżą po różnych stronach $M$, stąd $J(A)=D$. Analogiczne $J(B)=E$ i $J(C)=F$, więc $J(ABC)=J(DEF)$.\\
  Ortocentrum trójkąta w jednokładności przechodzi na ortocentrum (bo wysokości przechodzą na siebie), więc $J(H)=O$, stąd $O,M,H$ - wpsółliniowe (leżą na tzw. prostej Eulera) i $MH=2MO$. Środki okręgów też przechodzą na siebie, więc $O$ przechodzi na środek okręgu $DEF$. Ale z definicji jednokładności $O$ przechodzi na punkt $O^*$ leżący na prostej $OM$, po innej stronie $M$ niż $O$ i taki, że $MO=2MO^*$. Mamy $OO^*=2MO-MO^*=MH-MO^*=HO^*$, co dowodzi tezy.
  \item Powyższe 3 podpunkty liczą się jako 3 zadania.\\
  %\textbf{Rozwiązanie}: Nie umiem :(
  \end{enumerate}
\item Wykazać, że jeżeli $ABCD$ jest prostokątem i $P$ leży na okręgu opisanym na $ABCD$, to $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$.\\
\textbf{Rozwiązanie}: Zauważmy, że $\angle APC=\angle BPD=90$, więc, z Pitagorasa $PA^2+PC^2=AC^2=BD^2=PB^2+PD^2$. Założenie, że $P$ należy do okręgu opisanego upraszcza sprawę, ale jest zbędne - teza zachodzi dla każdego $P$ na płaszczyźnie.
\item Znaleźć wszystkie takie $n\in\mathbb{Z}_+$, że $5\not|n$ i $n^4 + 4^n$ jest liczbą pierwszą.\\
\textbf{Rozwiązanie}: Jeżeli $2|n$, to $2|n^4+4^n$ i $n^4+4^n>2$, więc na pewno nie jest to liczba pierwsza. Niech $n=2k+1$ ($k\in\mathbb{Z}_+\cup\{0\}$). Dla $5\not|n$ mamy $n^4\equiv 1 (\mod 5)$ (można policzyć 4 reszty albo z tw. Fermata) oraz $4^n=16^k\cdot 4\equiv 1^k\cdot4= 4 (\mod 5)$, więc $5|n^4+4^n$, a dla $n>1$ mamy $4^n+n^4>5$, więc dla $n>1$ nie otrzymamy liczby pierwszej. Dla $n=1$ faktycznie otrzymujemy liczbę pierwszą $5$.
\item Jest tylko 5 zadań, więc obniżam próg na chałwę: trzeba rozwiązać $3/5$, żeby ją dostać. Powodzenia. Mam nadzieję, że żadnego błędu nie ma, jak coś zauważycie, to od razu krzyczcie.
\end{enumerate}
\end{document}