Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\def\rozw{\\ \textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\title{26.03 - The best of OMG}
\date{}
\maketitle
\paragraph{Zadania z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów}
\begin{enumerate}
\item W turnieju tenisa stołowego uczestniczyło $2n$ zawodników. Każdy zawodnik rozegrał z każdym innym co najwyżej $1$ mecz. Po turnieju okazało się, że dokładnie $n$ zawodników rozegrało po dwa mecze, a pozostałych $n$ zawodników po trzy mecze. Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie $n$, dla których jest to możliwe.
\item Dany jest okrąg o środku $S$ oraz punkt $D$ leżący na tym okręgu. Cięciwa $AB$ przecina odcinek $SD$ w punkcie $C$, różnym od $S$. Wykaż, że $|AB| > 2|CD|$.
\item Dany jest równoległobok $ABCD$ oraz punkt $E$ należący do boku $BC$. Przez punkt $D$ prowadzimy prostą $k$ równoległą do $AE$. Na prostej $k$ obieramy takie punkty $K,L$, że czworokąt $AEKL$ jest równoległobokiem. Udowodnij, że równoległoboki $ABCD$ i $AEKL$ mają równe pola.
\item Każda z liczb $x_1,x_2,\cdots, x_{101}$ jest równa $\pm 1$. Wyznacz najmniejszą możliwą wartość wyrażenia
$$x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{100}x_{101}+x_{101}x_1$$
\item Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku $1$ oraz prosta $l$ przechodząca przez jego środek. Niech $a,b,c,d$ oznaczają odległości punktów $A,B,C,D$ od prostej $l$. Wykazać, że $a^2+b^2+c^2+d^2=1$.
\item Wyznacz wszystkie takie pary $(a,b)$ liczb całkowitych dodatnich, że liczba $a+b$ jest pierwsza oraz liczba $a^3+b^3$ jest podzielna przez $3$.
\item Czy wierzchołki $20$-kąta foremnego można tak ponumerować liczbami $1,2,\cdots,20$, aby użyć wszystkich tych liczb oraz aby dla każdych czterech kolejnych wierzchołków suma ich numerów była mniejsza od $43$?
\item Liczby $a,b,c$ są dodatnie. Wykaż, że
$$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(b+1)(c+1)}<1$$
\item Okrąg o promieniu $1$ jest wpisany w czworokąt wypukły $ABCD$. Okrąg ten jest styczny do boków $AB,BC,CD,DA$ odpowiednio w punktach $K,L,M,N$. Wiadomo, że
$$\angle KLM = 4\angle AKN \hbox{ oraz } \angle KNM=4\angle BKL$$
Obliczyć długość $LN$.
\item W przestrzeni danych jest $6$ punktów, z których żadne $4$ nie leżą na jednej płaszczyźnie. Łącząc niektóre z tych punktów narysowano $10$ odcinków. Wykaż, że w ten sposób uzyskano co najmniej jeden trójkąt.
\end{enumerate}
\footnotesize{zadania pochodzą z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów}
 
\paragraph{2 Dirichlety, jeden trudniejszy, drugi standardowy}
\normalsize
\begin{enumerate}
\item Niech $M$ będzie $10$ elementowym podzbiorem zbioru $\{1,2,\cdots,100\}$. Dowieść, że zbiór $M$ zawiera $2$ rozłączne niepuste podzbiory o takiej samej sumie elementów.
\item ** Niech $M$ będzie $10$ elementowym podzbiorem zbioru $\{0,1,2,\cdots,99\}$. Dowieść, że zbiór $M$ zawiera $2$ rozłączne niepuste podzbiory o takiej samej sumie elementów.\\$ $\\
Wskazówka: Odrzucić część podzbiorów $M$, żeby zaostrzyć ograniczenia, nie rozważać ograniczenia dolnego i górnego osobno.
\end{enumerate}
\footnotesize{zadania ze zbiorów V LO w Krakowie}
\end{document}
 
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\def\rozw{\\ \textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
\title{26.03 - The best of OMG}
\date{}
\maketitle
\paragraph{Zadania z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów}
\begin{enumerate}
\item W turnieju tenisa stołowego uczestniczyło $2n$ zawodników. Każdy zawodnik rozegrał z każdym innym co najwyżej $1$ mecz. Po turnieju okazało się, że dokładnie $n$ zawodników rozegrało po dwa mecze, a pozostałych $n$ zawodników po trzy mecze. Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie $n$, dla których jest to możliwe.
\item Dany jest okrąg o środku $S$ oraz punkt $D$ leżący na tym okręgu. Cięciwa $AB$ przecina odcinek $SD$ w punkcie $C$, różnym od $S$. Wykaż, że $|AB| > 2|CD|$.
\item Dany jest równoległobok $ABCD$ oraz punkt $E$ należący do boku $BC$. Przez punkt $D$ prowadzimy prostą $k$ równoległą do $AE$. Na prostej $k$ obieramy takie punkty $K,L$, że czworokąt $AEKL$ jest równoległobokiem. Udowodnij, że równoległoboki $ABCD$ i $AEKL$ mają równe pola.
\item Każda z liczb $x_1,x_2,\cdots, x_{101}$ jest równa $\pm 1$. Wyznacz najmniejszą możliwą wartość wyrażenia
$$x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{100}x_{101}+x_{101}x_1$$
\item Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku $1$ oraz prosta $l$ przechodząca przez jego środek. Niech $a,b,c,d$ oznaczają odległości punktów $A,B,C,D$ od prostej $l$. Wykazać, że $a^2+b^2+c^2+d^2=1$.
\rozw
Możemy tak zmienić naweznictwo wierzchołków, że $l$ będzie przecinała bok $AB$ kwadratu $ABCD$ (być może w $A$ lub w $B$) i wierzchołki $A,B,C,D$ będą posortowane przeciwnie do wskazówek zegara względem środka kwadratu. Nie zmieni to niczego w tezie.\\
Jeżeli prosta $l$ przechodzi przez wierzchołek kwadratu, to jej odległości od 2 wierzchołków będą wynosić $\frac{\sqrt{2}}{2}$, a od pozostałych dwóch $0$, więc teza zachodzi. Dalej zakładamy, że $l$ nie przechodzi przez żaden wierzchołek.\\
Niech $A'$ oznacza rzut $A$ na $l$, a $B'$ rzut $B$ na $l$ oraz niech $O$ oznacza środek kwadratu $ABCD$, a $E$ środek boku $AB$. Skoro prosta $l$ nie przechodzi przez $A$ ani przez $B$, to $A'\neq A$ i $B'\neq B$, więc proste $AA',BB'$ są określone poprawnie.\\
Rozważmy obrót $O_E^{-90\deg}$ o $-90\deg$ wokół $E$. Przenosi on $A$ na $O$, a $O$ na $B$, przenosi on więc prostą $AA'$ na prostą do niej prostopadłą i przechodzącą przez obraz punktu $A$: $O_E^{-90\deg}(A)=O$, a więc przenosi on $AA'$ na $l$.\\
Analogicznie stwierdzamy, że obrót ten przenosi $l$ na prostą prostopadłą do $l$ i przechodzącą przez $O_E^{-90\deg}(O)$, a więc przenosi on $l$ na $BB'$. Stąd wnosimy, że przenosi on punkt przecięcia $AA'$ z $l$ na punkt przecięcia $l$ z $BB'$, a więc przenosi on $A'$ na $B'$: $O_E^{-90\deg}(A')=B'$!\\
Tym samym jest $O_E^{-90\deg}(A)=O$ i $O_E^{-90\deg}(A')=B'$, a więc $O_E^{-90\deg}(AA')=OB'$, więc $|AA'|=|OB'|$ i obliczamy
$$|AA'|^2 + |BB'|^2 = |OB'|^2 + |BB'|^2 = |OB|^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$$
Analogicznie $|CC'|^2+|DD'|^2 = \frac{1}{2}$, co daje tezę.
 
\item Wyznacz wszystkie takie pary $(a,b)$ liczb całkowitych dodatnich, że liczba $a+b$ jest pierwsza oraz liczba $a^3+b^3$ jest podzielna przez $3$.
\rozw \textbf{Sposób 1.} Małe twierdzenie Fermata orzeka, że jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to
$$a^p\equiv a \mod p$$
dla wszystkich $a$ całkowitych.\\
Stosując je do $p=3$ otrzymujemy $a^3\equiv a \mod 3$, a więc $a^3 + b^3 \equiv a+b \mod 3$. Z treści zadania $3|a^3+b^3$, a więc $3|a+b$. Ale $a+b$ miało być pierwsze, więc $a+b=3$, czyli $(a,b)=(1,2)$ lub $(a,b)=(2,1)$. Obie te pary spełniają warunki zadania.\\
\rozw \textbf{Sposób 2.} Zamiast udowadniać tożsamość $a^3\equiv a \mod 3$ korzystając z małego twierdzenia Fermata, udowodnijmy ją wprost rozpatrując wszystkie reszty z dzielenia przez $3$:
$$0^3 = 0,\ \ 1^3 = 1,\ \ 2^3 = 8 \equiv 2 \mod 3$$
Dalsze rozumowanie jak w sposobie \textbf{1}.\\
\rozw \textbf{Sposób 3. (Marty)} Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia:
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$
Jeżeli $3| a+b $ to rozumujemy jak w sposobie \textbf{1}, jeżeli nie, to z $3 | a^3 + b^3$ wynika $3| a^2 - ab + b^2$. Sprawdzamy 9 kombinacji reszt z dzielenia przez $3$ i dochodzimy w każdym wypadku do wniosku, że jeżeli $3\not|a + b$, to $3 \not | a^2 - ab + b^2$.
\item Czy wierzchołki $20$-kąta foremnego można tak ponumerować liczbami $1,2,\cdots,20$, aby użyć wszystkich tych liczb oraz aby dla każdych czterech kolejnych wierzchołków suma ich numerów była mniejsza od $43$?
\item Liczby $a,b,c$ są dodatnie. Wykaż, że
$$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(b+1)(c+1)}<1$$
\rozw
\textbf{Sposób 1}
Oczywiście nierówność tę można udowodnić wprost przez sprowadzenie do wspólnego mianownika i jest to zapewne najszybsza metoda.\\
Obliczenia stają się jednak dość paskudne. Można wpaść na pomysł rozłożenia $\frac{a}{a+1}$ na $1-\frac{1}{a+1}$. Jest to o tyle intuicyjnie, że chcemy z lewej strony otrzymać $1$, którą mamy z prawej. Obliczamy więc:
$$\frac{a}{a+1} = 1 - \frac{1}{a+1}$$
$$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+1)(b+1)} = 1 + \frac{b}{(a+1)(b+1)} -\frac{b+1}{(a+1)(b+1)} = 1 - \frac{1}{(a+1)(b+1)}$$
$$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(b+1)(c+1)} =$$
$$ 1 - \frac{c+1}{(a+1)(b+1)(c+1)} + \frac{c}{(a+1)(b+1)(c+1)} = 1 - \frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)} < 1$$
To dowodzi tezy w sposób mniej rachunkowy.
\rozw
\textbf{Sposób 2}
Jeżeli brzydzimy się rachunkami, to możemy popatrzeć na nierówność z zadania pod kątem każdej ze zmiennych. Nierówność ta jest ,,najprostsza'' jeżeli popatrzymy na zmienną $c$, która wystepuje tylko w wyrażeniu $\frac{c}{c+1}$. Wyrażenie to, gdy $c>0$, przyjmuje wartości z przedziału $(0,1)$. Możemy więc oszacować $\frac{c}{c+1} < 1$ (a jest to dobre oszacowanie, bo to wyrażenie przyjmuje wartości dowolnie bliskie) i
$$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(b+1)(c+1)} < \frac{a}{a+1}+\frac{b}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(a+1)(b+1)} = \frac{a}{a+1} + \frac{1}{a+1} = 1$$
\item Okrąg o promieniu $1$ jest wpisany w czworokąt wypukły $ABCD$. Okrąg ten jest styczny do boków $AB,BC,CD,DA$ odpowiednio w punktach $K,L,M,N$. Wiadomo, że
$$\angle KLM = 4\angle AKN \hbox{ oraz } \angle KNM=4\angle BKL$$
Obliczyć długość $LN$.
\rozw
Czworokąt $KLMN$ jest wpisany w okrąg z zadania, więc
$$\angle KLM+\angle KNM = 180\deg$$
Stąd obliczam $\angle AKN+\angle BKL=45\deg$. Jest ponadto $\angle AKN+\angle NKL+\angle LKB=180\deg$, więc $\angle NKL=135\deg$, czyli $\angle NML=45\deg$ i $\angle NOL=90\deg$, gdzie $O$ to środek okręgu. Trójkąt $\triangle NOL$ jest więc prostokątny równoramienny i $|NL|^2=1^2 + 1^2,|NL|=\sqrt{2}$.
\item W przestrzeni danych jest $6$ punktów, z których żadne $4$ nie leżą na jednej płaszczyźnie. Łącząc niektóre z tych punktów narysowano $10$ odcinków. Wykaż, że w ten sposób uzyskano co najmniej jeden trójkąt.
\end{enumerate}
\footnotesize{zadania pochodzą z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów, zamieszczone rozwiązania zadań z I etapów nie są w żaden sposób uwierzytelnione przez OMG, rozwiązania pozostałych zadań znajdują się na stronie \textbf{http://sem.edu.pl/omg/}}
 
\paragraph{2 Dirichlety, jeden trudniejszy, drugi standardowy}
\normalsize
\begin{enumerate}
\item Niech $M$ będzie $10$ elementowym podzbiorem zbioru $\{1,2,\cdots,100\}$. Dowieść, że zbiór $M$ zawiera $2$ rozłączne niepuste podzbiory o takiej samej sumie elementów.
\rozw
Zauważmy najpierw, że jeżeli znajdziemy w $M$ dwa różne niepuste podzbiory o równych sumach elementów, to możemy od każdego z tych pozbiorów odjąć ich część wspólną, otrzymując 2 rozłączne podzbiory o równych sumach elementów. Ponadto, zbiory te są niepuste. Dowodzimy tego przez zaprzeczenie: gdyby któryś ze zbiorów był pusty, to miałby sumę równą $0$, a więc drugi zbiór miałby sumę równą $0$, a skoro wszystkie elementy są dodatnie, to byłby on również pusty, czyli zbioru początkowe (przed odjęciem części wspólnej) byłyby równe. Sprzeczność.\\
Odnajdziemy teraz w $M$ dwa różne podzbiory o równych sumach. Podzbiory $M$ mają sumy w zakresie od $1$ do $100+99+98+\cdots+91 < 1000$, różnych sum jest więc nie więcej niż $1000 - 1 + 1 = 1000$. Różnych niepustych podzbiorów $M$ jest $2^{10} - 1 = 1023 > 1000$. Stąd wynika, że pewne 2 różne podzbiory mają równe sumy.
\item ** Niech $M$ będzie $10$ elementowym podzbiorem zbioru $\{0,1,2,\cdots,99\}$. Dowieść, że zbiór $M$ zawiera $2$ rozłączne niepuste podzbiory o takiej samej sumie elementów.
%\rozw
%Poprzednie rozumowanie załamuje się w tym przypadku, bowiem jednym z elementów jest $0$. Odrzućmy $0$. Wybieramy więc $9$-elementowy (w najgorszym przypadku) zbiór z $\{1,2,\cdots,99\}$.\\
%Konwencjonalnym Dirichletem nie da się tego zrobić, bo $2^9 < 99+98+\cdots+91$.\\
%Niech $M=\{a_1,a_2,\cdots,a_9\}$ i $a_1<a_2<\cdots<a_9$. Zauważmy, że podzbiór $9$-elementowy $M$ jest jeden, a podbija nam górną granicę, jest więc ,,nieopłacalny''. Uogólniając to rozumowanie wybierzmy z $M$ podzbiory tylko $3,4,5,6$ elementowe. Jest ich
%$$\binom{9}{3}+\binom{9}{4}+\binom{9}{5}+\binom{9}{6}=420$$
%Górne ograniczenie na sumę takiego podzbioru to $a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4\leq 99+98+\cdots+94=579$, a dolne to $a_1+a_2+a_3=1+2+3=6$, więc są $579-6=573$ sumy. Wciąż za dużo, bo $420 < 573$.\\
%Zauważmy, że tak naprawdę oszacowaliśmy, że różnych sum jest najwyzej $a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4 - (a_1+a_2+a_3) + 1$. Odrzućmy jeszcze podzbiór $\{a_1,a_2,a_3\}$. Mamy więc $419$ pozdzbiorów, a podzbiorem o najmniejszej sumie jest teraz $\{a_1,a_2,a_4\}$, więc różnych sum jest najwyżej $a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4 - (a_1+a_2+a_4) + 1 = a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4 - a_1 - a_2 + 1 \leq 99+98+97+96+95 - 1 - 2 +1 = 483$. Pozbywając się jednego podzbioru zmniejszyliśmy zakres sum o $90$ !\\
%Rozszerzmy tę technikę nieco: odrzućmy z naszych $419$ podzbiorów podzbiory mające część wspólną ze zbiorem $\{a_9,a_8,a_7,a_6,a_5,a_4\}$ mniej niż $2$ elementową (czyli $1$ elementową). Są to podzbiory $3$-elementowe o dwu elementach z $\{a_1,a_2,a_3\}$ oraz podzbiory $4$-elementowe zawierające $\{a_1,a_2,a_3\}$. Takich podzbiorów jest
%$$\binom{3}{2}\binom{6}{1}+\binom{3}{3}\binom{6}{1}=24$$
%Jeżeli odrzucimy je, to będziemy mieli $419-24=395$ zbiorów. Różnych sum będzie zaś
%$$a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4 - \hbox{ suma zbioru o minimalnej sumie }$$
%Zbiór o minimalnej sumie ma co najmniej $2$ elementy wspólne z $\{a_9,a_8,a_7,a_6,a_5,a_4\}$, więc te elementy skasują się w $a_9+a_8+a_7+a_6+a_5+a_4 - \hbox{ suma zbioru o minimalnej sumie }$, więc wyrażenie to ma wartość niewiększą niż
%$$99+98+97+96=390 < 395$$
%W tej chwili już z Dirichleta dostajemy tezę.\\
%\footnotesize{Rozwiązanie to zawdzięczam w dużym stopniu prowadzącym Ligę Matematyczną V LO: Krzysztofowi Dorobiszowi, Tomaszowi Kobosowi i Maciejowi Gawronowi.}
\end{enumerate}
\footnotesize{zadania ze zbiorów V LO w Krakowie}
\end{document}