Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\title{Ferie, a my nadal chodzimy do szkoły :) (Jednokładność)}
\date{}
\maketitle
\paragraph{Teoria}
\begin{enumerate}
\item Jednokładnością o skali $k$ względem $O$ (który nazywamy środkiem jednokładności) nazywamy przekształcenie płaszczyzny które każdemu punktowi $A$ przyporządkowuje punkt $A'$, taki, że:
\begin{itemize}
\item $A,O,A'$ - na jednej prostej
\item $|OA'|=|k||OA|$
\item Jeżeli $k < 0$ to $A, A'$ leżą po różnych stronach $O$, a jeżeli $k > 0$, to po jednej.
\end{itemize}
Strasznie formalnie wyszło... Alternatywna definicja: Jednokładność jaka jest, każdy widzi.
\item Jednokładność przenosi odcinki na odcinki, trójkąty na trójkąty, punkty szczególne, takie jak np. środek okręgu na punkty szczególne (nowych trójkątów), okręgi na okręgi.
\item Jednokładność zachowuje punkty przecięcia, czyli przenosi np. okręgi styczne na styczne, proste równoległe na równoległe (nawet na równoległe do prostych przed jednokładnością).
\item Złożenie dwóch jednokładności o skalach $\alpha, \beta$ jest:
\begin{itemize}
\item Jednokładnością o skali $\alpha\beta$, jeżeli $\alpha\beta\neq1$
\item Translacją, jeżeli $\alpha\beta=1$ (można na to patrzeć jak na jednokładność o nieskończonym środku)
\end{itemize}
\end{enumerate}
\paragraph{Zadania}
\begin{enumerate}
\item Udowodnić, że w trójkącie $ABC$ środek ciężkości, ortocentrum i środek okręgu opisanego leżą na jednej prostej (prostej Eulera).
\item Okrąg wpisany w $\triangle ABC$ jest styczny do $AB$ w punkcie $E$.  Niech $EF$ będzie średnicą tego okręgu. Okrąg dopisany do boku $AB$ trójkąta $ABC$ jest styczny do tego boku w $G$. Udowodnić, że punkty $C,F,G$ są współliniowe.
\item Okręgi $O_1$ i $O_2$ są styczne wewnętrznie w punkcie $B$. Średnica $AC$ okręgu $O_1$ jest styczna do okręgu $O_2$ w $M$. Udowodnić, że $BM$ jest dwusieczną kąta $\angle ABC$.
\item (de facto Tales) Punkt $P$ leży wewnątrz czrowokąta wypukłego $ABCD$. Udowodnić, że:
\begin{enumerate}
\item Środki boków tego czworokąta tworzą równoległobok.
\item Środki ciężkości trójkątów $ABP$, $BCP$, $CDP$, $DAP$ tworzą równoległobok.
\item Policzyć pola tych równoległoboków.
\end{enumerate}
\item Dany jest sześciokąt $ABCDEF$. Wykazać, że środki ciężkości trójkątów $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEF$, $EFA$, $FAB$ tworzą sześciokąt, w którym przeciwległe boki są równoległe i równe.
\item (*) Okręgi $o_1,o_2$ o równych promieniach są styczne wewnętrznie do okręgu $o$ w punktach $A,B$ odpowiednio. Punkt $P$ należy do okręgu $o$. Proste $PA$, $PB$ przecinają okręgi $o_1, o_2$ w $C,D$. Udowodnić, że $CD||AB$.
\item (*) Okręgi $O_1$ i $O_2$ są wpisane w kąt o wierzchołku $P$. Ponadto są one wpisane w kąty wierzchołkowe o wierzchołku $Q$. Niech $R$ - punkt na $O_1$. Niech proste $RP$ i $RQ$ przecinają $O_2$ w 4 punktach. Udowodnić, że pewne 2 z tych punktów są średnicą $O_2$.
\item Wszystkie zadania z kółka ze staszica. Dzięki Ci Ula!
\end{enumerate}
\paragraph{Parę dodatkowych prostych zadań}
\begin{enumerate}
\item Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $\angle ACB=45$. Udowodnić, że $|CH|=|AB|$, gdzie $H$ - ortocentrum $ABC$.
\item Punkty $D,E,F$ leżą na bokach $BC, CA, AB$ trójkąta $ABC$ odpowiednio. Proste $AD,BE,CF$ przecinają się w $P$. Wykazać, że jeżeli w czworokąty $AEPF$ i $BFPD$ można wpisać okręgi, to można je wpisać i w czworokąt $CEPD$.
\item Punkty $E,F$ leżą na bokach $BC,AD$ równoległoboku $ABCD$, przy czym $|BE|=|DF|$. Punkt $K$ leży na boku $CD$. Odcinek $EF$ przecina odcinki $AK, BK$ w punktach $P, Q$. Udowodnić, że $P(AFP)+P(BEQ)=P(KPQ)$, gdzie $P(X)$ - pole figury $X$.
\item Zadania ze skryptu p. Pompe.
\item Wszelkie uwagi i błędy proszę zgłaszać.
\end{enumerate}
\end{document}
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\begin{document}
\def\rozw{\\ \textbf{Rozwiązanie}: \\}
\title{Ferie, a my nadal chodzimy do szkoły :) (Jednokładność)}
\date{}
\maketitle
\paragraph{Teoria}
\begin{enumerate}
\item Jednokładnością o skali $k$ względem $O$ (który nazywamy środkiem jednokładności) nazywamy przekształcenie płaszczyzny które każdemu punktowi $A$ przyporządkowuje punkt $A'$, taki, że:
\begin{itemize}
\item $A,O,A'$ - na jednej prostej
\item $|OA'|=|k||OA|$
\item Jeżeli $k < 0$ to $A, A'$ leżą po różnych stronach $O$, a jeżeli $k > 0$, to po jednej.
\end{itemize}
Strasznie formalnie wyszło... Alternatywna definicja: Jednokładność jaka jest, każdy widzi.
\item Jednokładność przenosi odcinki na odcinki, trójkąty na trójkąty, punkty szczególne, takie jak np. środek okręgu na punkty szczególne (nowych trójkątów), okręgi na okręgi.
\item Jednokładność zachowuje punkty przecięcia, czyli przenosi np. okręgi styczne na styczne, proste równoległe na równoległe (nawet na równoległe do prostych przed jednokładnością).
\item Złożenie dwóch jednokładności o skalach $\alpha, \beta$ jest:
\begin{itemize}
\item Jednokładnością o skali $\alpha\beta$, jeżeli $\alpha\beta\neq1$
\item Translacją, jeżeli $\alpha\beta=1$ (można na to patrzeć jak na jednokładność o nieskończonym środku)
\end{itemize}
\end{enumerate}
\paragraph{Zadania}
\begin{enumerate}
\item Udowodnić, że w trójkącie $ABC$ środek ciężkości, ortocentrum i środek okręgu opisanego leżą na jednej prostej (prostej Eulera).
\rozw
Niech $M$ oznacza środek ciężkości, $H$ ortocentrum, a $O$ środek okręgu opisanego.\\
Zauważmy najpierw, że $O$ pokrywa się z ortocentrum trójkąta $DEF$, gdzie $D,E,F$ to środki boków $BC,CA,AB$ odpowiednio (dowód z zadaniach przygotowawczych do OMa 2008, 2. seria).\\
Wiemy, że trzy środkowe $AD,BE,CF$ w trójkącie $ABC$ przecinają się w środku ciężkości $M$ i jest \[\frac{AM}{DM}=2,\frac{BM}{EM}=2,\frac{CM}{FM}=2\]
Niech $J$ oznacza jednokładność o środku w $M$ i skali $-\frac{1}{2}$. Z powyższych równości wynika, że \[J(A)=D,J(B)=E,J(C)=F\]
Stąd $J$ przenosi $\triangle ABC$ na $\triangle DEF$, więc, jakoże jednokładność zachowuje punkty szczególne trójkąta, przenosi ona ortocentrum $H$ trójkąta $ABC$, na ortocentrum $DEF$, czyli na $O$:
\[J(H)=O\]
To już dowodzi, że $H,M,O$ są współliniowe, gdyż punkt, środek jednokładności i obraz punktu są zawsze współliniowe.
\item Okrąg wpisany w $\triangle ABC$ jest styczny do $AB$ w punkcie $E$.  Niech $EF$ będzie średnicą tego okręgu. Okrąg dopisany do boku $AB$ trójkąta $ABC$ jest styczny do tego boku w $G$. Udowodnić, że punkty $C,F,G$ są współliniowe.
\rozw
Niech $o_1$ oznacza okrąg wpisany w $\triangle ABC$, a $o_2$ okrąg dopisany do boku $AB$.
Niech $J$ będzie jednokładnością o środku w $C$, która przekształca $o_2$ w $o_1$ (jednokładność taka zawsze istnieje, wystarczy wziąć jednokładność, która przekształca środek na środek) i niech $G'=J(G)$. Chcemy wykazać, że $G'=F$.\\
Jednokładność zachowuje równoległość prostych, więc prosta $l$ styczna do $o_1$ w $G'$ jest równoległa do prostej stycznej do $o_2$ w $G$, czyli do prostej $AB$. Nie może być, $l=AB$, gdyż $AB$ jest styczną do $o_2$ bliższą $C$, więc przechodzi na styczną do $o_1$ bliższą $C$ (trochę to nieformalnie w tym miejscu).\\
Prosta $l$ jest więc styczną do $o_1$ w $G'$ równoległą do $AB$ i inną niż $AB$. Z tego już wynika, że prosta łącząca punkty styczności $AB$ i $l$ do $o_1$ jest średnicą $o_1$ (o jednym końcu w $E$), czyli $G'=F$ (wynika to z konstrukcji $F$).\\
Stąd już wynika, że $C, J(G)=F, G$ są współliniowe, jako środek jednokładności, punkt i obraz punktu.
\item Okręgi $O_1$ i $O_2$ są styczne wewnętrznie w punkcie $B$. Średnica $AC$ okręgu $O_1$ jest styczna do okręgu $O_2$ w $M$. Udowodnić, że $BM$ jest dwusieczną kąta $\angle ABC$.
\rozw
Niech $C_2$ będzie środkiem okręgu $O_2$. Rozważmy jednokładność $J$ o środku w $B$, przenoszącą $O_1$ na $O_2$. Niech $A'=J(A),C'=J(C)$. Z własności jednokładności $A'C'$ jest średnicą $O_2$ oraz $A'C'||AC$. Ponadto $AC\perp MC_2$, bowiem $AC$ jest styczną. Stąd $A'C'\perp MC_2$, co w połączeniu z $|A'C_2|=|C'C_2|$ implikuje $|MA'|=|MC'|$.\\
Punkt $M$ jest więc środkiem łuku $A'C'$ okręgu opisanego na $A'BC'$, a przez ten punkt przechodzi dwusieczna, co było udowadniane wcześniej, więc prosta $BM$ jest dwusieczną kąta $A'BC'$, a więc i $ABC$.
\item (de facto Tales) Punkt $P$ leży wewnątrz czworokąta wypukłego $ABCD$. Udowodnić, że:
\begin{enumerate}
\item Środki boków tego czworokąta tworzą równoległobok.
\rozw
Niech $E,F,G,H$ będą środkami boków $AB,BC,CD,DA$ odpowiednio. Z twierdzenia Talesa dla kątów o wierzchołkach $B$, $D$ jest:
\[EF||AC, \frac{|EF|}{|AC|}=\frac{1}{2}\]
\[GH||AC, \frac{|GH|}{|AC|}=\frac{1}{2}\]
Stąd $EF||GH$ i $|EF|=|GH|$, czyli $EFGH$ jest równoległobokiem.
\item Środki ciężkości trójkątów $ABP$, $BCP$, $CDP$, $DAP$ tworzą równoległobok.
\rozw Jednokładność $J$ środku w $P$ i skali $\frac{2}{3}$ przenosi środki boków na środki ciężkości odpowiednich trójkątów, wynika to z faktu, że środkowe przecinają się w stosunku $2:1$. Oczywiście jednokładność przenosi równoległobok na równoległobok.
\item Policzyć pola tych równoległoboków.
\rozw Pole pierwszego równoległoboku wynosi $\frac{1}{2}P_{ABCD}$, można to policzyć licząc pola trójkątów, które zostaną po obcięciu. Pole drugiego równoległoboku wynosi więc $(\frac{2}{3})^2\frac{1}{2}P_{ABCD}=\frac{2}{9}P_{ABCD}$, z własności jednokładności.
\end{enumerate}
\item Dany jest sześciokąt $ABCDEF$. Wykazać, że środki ciężkości trójkątów $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEF$, $EFA$, $FAB$ tworzą sześciokąt, w którym przeciwległe boki są równoległe i równe.
\rozw
Zauważmy, że para przeciwległych boków to np. środki ciężkości trójkątów: $ABC,BCD$ i $DEF,EFA$.\\
Niech $M_1,M_2,M_3,M_4$ oznaczają środki ciężkości $ABC,BCD,DEF,EFA$ odpowiednio oraz niech $G_1$ oznacza środek boku $BC$, $G_2$ środek boku $EF$. Jednokładność względem $G_1$ o skali $3$ przekształca $M_1M_2$ w $AD$, więc
\[M_1M_2||AD,\frac{|M_1M_2|}{|AD|}=\frac{1}{3}\]
Podobnie jednokładność względem $G_2$ o skali $3$ przekształca $M_3M_4$ na $AD$, stąd
\[M_3M_4||AD,\frac{|M_3M_4|}{|AD|}=\frac{1}{3}\]
Z tych dwóch zależności już wynika teza dla tych boków. Dla pozostałych boków rozumujemy analogicznie.
\item (*) Okręgi $o_1,o_2$ o równych promieniach są styczne wewnętrznie do okręgu $o$ w punktach $A,B$ odpowiednio. Punkt $P$ należy do okręgu $o$. Proste $PA$, $PB$ przecinają okręgi $o_1, o_2$ w $C,D$. Udowodnić, że $CD||AB$.
\rozw
Niech $J_{o_2o}$ będzie jednokładnością względem $B$ przenoszącą $o_2$ na $o$, a $J_{oo_1}$ jednokładnością o środku w $A$ przenoszącą $o$ na $o_1$ oraz niech $J=J_{oo_1}\circ J_{o_2o}=J_{oo_1}(J_{o_2o})$. Złożenie to przenosi punkt $D$ na $C$, gdyż $J_{o_2o}(D)=P$, $J_{oo_1}(P)=C$ oraz przenosi punkty $A,B$ na punkty leżące na prostej $AB$, gdyż, np. dla $B$ $J_{o_2o}(B)=B$, więc $J(B)=J_{oo_1}(B)$, a $B,J_{oo_1}(B),A$ są współliniowe.\\
Stąd $J$ przenosi prostą $AB$ na samą siebie.\\
Policzmy, jaki jest iloczyn skal jednokładności $J_{o_2o},J_{oo_1}$. Niech $O_1,O_2,O$ będą środkami, zaś $r_1,r_2=r_1,r$ promieniami $o_1,o_2,o$ odpowiednio. Mamy
\[J_{o_2o}(O_2)=O,J_{o_2o}(B)=B\hbox{ skala wynosi: }\frac{|BO|}{|BO_2|}=\frac{r}{r_2}\]
Analogicznie wnioskujemy, że skala $J_{oo_1}$ wynosi $\frac{r_1}{r}=\frac{r_2}{r}$. Iloczyn skal wynosi $1$, więc $J$, jako złożenie jest translacją. Liczymy tylko wartość bezwględną, bo bezpośrednio widać, że obie skale są dodatnie.\\
Skoro $J(D)=C$, to $J=T_{\vec{DC}}$ (translacja o wektor $DC$), a skoro $J(AB)=AB$, to $CD||AB$.
\item (*) Okręgi $O_1$ i $O_2$ są wpisane w kąt o wierzchołku $P$. Ponadto są one wpisane w kąty wierzchołkowe o wierzchołku $Q$. Niech $R$ - punkt na $O_1$. Niech proste $RP$ i $RQ$ przecinają $O_2$ w 4 punktach. Udowodnić, że pewne 2 z tych punktów są średnicą $O_2$.
\rozw
Niech $J_Q$ będzie jednokładnością względem $Q$ przenoszącą $O_1$ na $O_2$ i niech $J_P$ będzie jednokładnością względem $P$ przenoszącą $O_1$ na $O_2$. Niech $A=J_Q(R),B=J_P(R)$. Wtedy $A,B$ należą do zbioru punktów przecięcia $RP,RQ$ z $O_2$. Pozostaje wykazać, że $AB$ jest średnicą $O_2$.\\
Niewątpliwie $J_P\neq J_Q$, a więc $A\neq B$ (środek, punkt, obraz jednego punktu już definiuje jednokładność). Niech styczna do $O_2$ w $A$ nazywa się $a$, a w $B$ - $b$, a do $O_1$ w $R$ - $r$. Z własności jednokładności mamy $a||r$ i $b||r$. Ponadto $a\neq b$. Stąd już wynika, jak w zadaniu drugim, że $AB$ to średnica.
\item Wszystkie zadania z kółka ze staszica. Dzięki Ci Ula!
\end{enumerate}
\paragraph{Parę dodatkowych prostych zadań}
\begin{enumerate}
\item Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $\angle ACB=45$. Udowodnić, że $|CH|=|AB|$, gdzie $H$ - ortocentrum $ABC$.
\item Punkty $D,E,F$ leżą na bokach $BC, CA, AB$ trójkąta $ABC$ odpowiednio. Proste $AD,BE,CF$ przecinają się w $P$. Wykazać, że jeżeli w czworokąty $AEPF$ i $BFPD$ można wpisać okręgi, to można wpisać okrąg i w czworokąt $CEPD$.\\
\textbf{Wskazówka}: Załóżmy, że mamy czworokąt wypukły $ABCD$ oraz, że półproste $AB$ i $DC$ przecinają się w $E$, a półproste $AD$ i $BC$ w $F$. Wtedy w czworokąt $ABCD$ można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $AE+CF=AF+CE$.
\item Punkty $E,F$ leżą na bokach $BC,AD$ równoległoboku $ABCD$, przy czym $|BE|=|DF|$. Punkt $K$ leży na boku $CD$. Odcinek $EF$ przecina odcinki $AK, BK$ w punktach $P, Q$. Udowodnić, że $P(AFP)+P(BEQ)=P(KPQ)$, gdzie $P(X)$ - pole figury $X$.
\item Zadania ze skryptu p. Pompe.
\item Wszelkie uwagi i błędy proszę zgłaszać.
\end{enumerate}
\end{document}