Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: mlodsi.tex
%     Created: Mon Apr 08 09:00 PM 2013 C
% Last Change: Mon Apr 08 09:00 PM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
    \begin{minipage}{2.5cm}
        \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
    \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
        \begin{center}
            {\Huge \bfseries \center #1}
 
            \vskip 1mm
            \small \normalfont \sc
            \author{}\\
            \date{}
        \end{center}
    \end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\pagestyle{empty}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
\def\sectionwidth{6cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{9 marca 2013}
\begin{document}
 
\section{\Large Kupą mości panowie!\\[0.2cm]\large epizod II}
 
\begin{problem}[z~poprzedniego kółka]
    Wykaż, że kwadrat obwodu trójkąta jest większy niż dwunastokrotność jego
    pola.
\end{problem}
 
\begin{center}
    * * ** *** ***** ******** *************
\end{center}
 
\begin{problem}[V PTM, gimn koresp. -- uwaga! Ten etap wciąż trwa, nie
    pokazywać rozwiązań!]
    Czy więcej dzielników dodatnich liczby $2013^{2013}$ kończy się jedynką, czy trójką?
    Odpowiedź uzasadnij.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Wykaż, że jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to równanie
    \[
    \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}.
    \]
    ma dokładnie trzy rozwiązania w~liczbach naturalnych dodatnich $x, y$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w~okrąg $\omega$. Wykazać, że dwusieczne
    kątów $ \angle ACB$ i~$ \angle ADB$ przecinają się w~punkcie leżącym na
    okręgu $\omega$.
\end{problem}
 
\vspace{1cm}
{\long\it Przed eliminacjami i~PTMem.
 
Ogólnie do jednego i~drugiego potrzeba mało teorii, teoretycznie osoby
z~różnych szkół bez teorii muszą dać radę poradzić sobie. Ale teoria
oczywiście pomaga.
 
Proponowałbym spróbować poczytać
123infty.pdf (na stronie po lewej, z~królikiem), a~szczególnie początek
i~pierwsze trzy zadania z~sekcji ``Algebra'' oraz~podsekcje ``Kongruencje'' w~Teorii liczb i~``Zasada szufladkowa
Dirichleta'' w~kombinatoryce. Są one przyjazne użytkownikowi (tylko
kongruencje wprowadzają coś istotnie nowego), a~w~razie czego służę pomocą
mailową.
 
Yogi}
 
\end{document}
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
%        File: mlodsi.tex
%     Created: Mon Apr 08 09:00 PM 2013 C
% Last Change: Mon Apr 08 09:00 PM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
    \begin{minipage}{2.5cm}
        \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
    \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
        \begin{center}
            {\Huge \bfseries \center #1}
 
            \vskip 1mm
            \small \normalfont \sc
            \author{}\\
            \date{}
        \end{center}
    \end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\pagestyle{empty}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
\def\sectionwidth{6cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{9 marca 2013}
\begin{document}
 
\section{\Large Kupą mości panowie!\\[0.2cm]\large epizod II, rozwiązania}
 
\begin{problem}[z~poprzedniego kółka]
    Wykaż, że kwadrat obwodu trójkąta jest większy niż dwunastokrotność jego
    pola.
\end{problem}
 
\begin{sol}
    Oznaczmy boki trójkąta przez $a, b, c$, wtedy kwadrat odwodu to
    $(a+b+c)^2$. Oznaczmy również przez $P$ pole trójkąta.
 
    Jeżeli $h$ oznacza długość wysokości opuszczonej na bok $a$, to mamy
    $b\geq h$ oraz $c\geq h$. Wobec tego
    \[ab\geq 2\cdot\left(\frac{ab}{2}\right) = 2P.\]
    Analogicznie $bc\geq 2P,\ ca\geq 2P$, wobec tego
    \[
    (a+b+c)^2 = (a^2 + b^2 + c^2) + 2\cdot (ab + bc + ca) > 2\cdot (ab + bc +
    ca) \geq 2\cdot 6P = 12P.
    \]
\end{sol}
 
\begin{center}
    * * ** *** ***** ******** *************
\end{center}
 
\begin{problem}[V PTM, gimn koresp.]
    Czy więcej dzielników dodatnich liczby $2013^{2013}$ kończy się jedynką, czy trójką?
    Odpowiedź uzasadnij.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Wykaż, że jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to równanie
    \[
    \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}.
    \]
    ma dokładnie trzy rozwiązania w~liczbach naturalnych dodatnich $x, y$.
\end{problem}
 
\begin{sol}
    \emph{Najważniejsze jest (wielokrotne) korzystanie z~faktu, że $p$ jest
    pierwsza, więc $p\big|ab$ implikuje $p\big|a$ lub $p\big|b$.}
 
    Załóżmy, że $(x, y)$ jest rozwiązaniem równania i~pomnóżmy obie strony
    przez $pxy$, otrzymując
    \[
    py + px = xy,\mbox{ czyli } p(x+y) = xy.
    \]
    Wynika stąd, że $p\big|x$ lub $p\big|y$. Załóżmy (ew. zmieniając
    miejscami $x$ i~$y$), że $p\big|x$, niech $x = pk$, wtedy
    \[
    x + y = ky,\mbox{ stąd } pk = x = (k-1)y.
    \]
    Wynika stąd, że $k-1\big|p$, więc $k-1$ może przyjmować jedną z~czterech
    wartości: $-p, -1, 1, p$. Liczba $x/y = k-1$ jest dodatnia, więc pozostają
    nam dwie możliwości:
    \begin{enumerate}
        \item $k -1 = 1$. Wtedy $x = 2p$, więc $y = 2p$.
        \item $k -1 = p$, więc $x = (p+1)p$ i~$y = p+1$.
    \end{enumerate}
    Przypomnijmy teraz, że dokonaliśmy założenia, że $p\big|x$. Analogicznie
    rozważając sytuację $p\big|y$ znajdujemy ponownie rozwiązanie $x=y=2p$
    oraz nowe rozwiązanie $x=p+1, y = p(p+1)$, łącznie są trzy rozwiązania.
%    Podstawiając otrzymujemy $p\left( (k-1)y + y \right) = (k-1)\cdot y\cdot
%    y$, czyli $p\cdot k = (k-1)y$.
%    co znaczy, że $y\big|x + y$, czyli $y\big|x$ oraz $k\big|x+y$, czyli
%    $k\big|y$. Ostatecznie
%    \[k\big|y\big|x = kp.\]
%    Wobec tego może zachodzić $y = \pm k$ lub $y = \pm kp$.
\end{sol}
 
\begin{problem}
    Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w~okrąg $\omega$. Wykazać, że dwusieczne
    kątów $ \angle ACB$ i~$ \angle ADB$ przecinają się w~punkcie leżącym na
    okręgu $\omega$.
\end{problem}
 
\newpage
\begin{sol}
    Oznaczmy przez $X$ punkt przecięcia dwusiecznej $ \angle ACB$ z~okręgiem
    $\omega$. Kąty $ \angle XCA,  \angle XCB$ są równe, więc łuki $XA$ i~$XB$
    są równe, czyli $X$ jest środkiem łuku $AB$ niezawierającego $C$.
 
    Analogiczne rozumowanie przeprowadzone dla $ \angle ADB$ potwierdza, że
    dwusieczna ta przechodzi przez środek łuku $AB$ niezawierającego $D$,
    czyli przez punkt $X$!
\end{sol}
 
\vspace{1cm}
{\long\it Przed eliminacjami i~PTMem.
 
Ogólnie do jednego i~drugiego potrzeba mało teorii, teoretycznie osoby
z~różnych szkół bez teorii muszą dać radę poradzić sobie. Ale teoria
oczywiście pomaga.
 
Proponowałbym spróbować poczytać
123infty.pdf (na stronie po lewej, z~królikiem), a~szczególnie początek
i~pierwsze trzy zadania z~sekcji ``Algebra'' oraz~podsekcje ``Kongruencje'' w~Teorii liczb i~``Zasada szufladkowa
Dirichleta'' w~kombinatoryce. Są one przyjazne użytkownikowi (tylko
kongruencje wprowadzają coś istotnie nowego), a~w~razie czego służę pomocą
mailową.
 
Yogi}
 
\end{document}