Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.
 
Rozwiązania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad2.tex
%     Created: wto kwi 27 09:00  2010 C
% Last Change: wto kwi 27 09:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newtheorem{problem}[thm]{Zadanie}
\newenvironment{proof}{\noindent\textsc{Dowód.}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}{\noindent\textsc{Rozwiązanie. }}
{\par}
 
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Eliminacje do PTM}
 
\begin{enumerate}
    \item Dany jest kwadrat $4\times 4$ wypełniony jedynkami oprócz trzech
        miejsc na przekątnej, gdzie wpisane są $-1$. Ruch polega na zmianie
        znaku wszystkich liczb w wierszu, kolumnie, lub na dużej przekątnej.
        Rozstrzygnij, czy da się zamienić wszystkie liczby na jedynki.
    \item Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ takie, że liczba $n^5-n$
        jest podzielna przez $120$.
    \item Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
        nierówność
        $$\frac{a^2}{4} + b^2 + c^2 \geq ab - ac + 2bc$$
    \item Niech $I$ będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ostrokątny $ABC$,
         $k, l, m$ oznaczają symetralne odcinków $AI, BI, CI$ odpowiednio.
         Oznaczmy jako $X, Y,Z$ punkty przecięcia prostych $k,l$, $l,m$,
         $m,k$. Uzasadnić, że na sześciokącie $ABCXYZ$ da się opisać okrąg.
 \end{enumerate}
 \end{document}
 

Źródło rozwiązań w texu.

 
%        File: zad2.tex
%     Created: wto kwi 27 09:00  2010 C
% Last Change: wto kwi 27 09:00  2010 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newtheorem{problem}[thm]{Zadanie}
\newenvironment{proof}{\noindent\textsc{Dowód.}
 
}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}{\noindent\textsc{Rozwiązanie. }
 
}
{\par}
 
\def\rozw{$ $\\\textbf{Rozwiązanie}: \\}
\def\deg{^{\circ}}
 
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\begin{document}
\section{Eliminacje do PTM}
 
\begin{enumerate}
    \item Dany jest kwadrat $4\times 4$ wypełniony jedynkami oprócz trzech
        miejsc na przekątnej, gdzie wpisane są $-1$. Ruch polega na zmianie
        znaku wszystkich liczb w wierszu, kolumnie, lub na dużej przekątnej.
        Rozstrzygnij, czy da się zamienić wszystkie liczby na jedynki.
 
        \begin{sol}
            \textbf{Odpowiedź:} Nie da się.
 
            Udowodnimy, że ilość $-1$ na planszy jest stale nieparzysta. Z
            tego wyniknie, że nie da się zamienić wszystkich liczb na jedynki,
            gdyż jeżeli dałoby się, to po ostatnim ruchu ilość $-1$ byłaby
            równa $0$, a więc parzysta.
 
            Przed wykonaniem jakiekolwiek ruchu ilość $-1$ jest nieparzysta -- mamy w $3$ polach
            $-1$.
 
            Zauważmy, że ruch nie zmienia parzystości ilości $-1$.
 
            W każdym ruchu
            zmieniany parzystość $4$ liczb. Załóżmy, że przed ruchem w tych
            liczbach było $k$ liczb równych $-1$. Po ruchu $-1$ będzie $4-k$.
            Zatem ilość $-1$ \emph{zmieni się} o $4- k - k = 2(2 - k)$, czyli
            o liczbę parzystą, zatem parzystość ilości $-1$ nie zmieni się.
        \end{sol}
    \item Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ takie, że liczba $n^5-n$
        jest podzielna przez $120$.
 
        \begin{sol}
            $120 = 3\cdot 5\cdot 8$, więc wystarczy sprawdzić, dla których $n$
            liczba $n^5 - n$ jest podzielna przez $3$, przez $5$ i przez $8$.
 
            Zauważmy po pierwsze, że
            $$n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2 + 1)$$
 
            Bezpośrednio sprawdzając reszty z dzielenia przez $3$ (tj.
            przypadki $n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k+2$) i przez $5$
            stwierdzamy, że
            $$3 | n^5 - n\hbox{ i } 5|n^5 - n$$
            dla \emph{wszystkich} $n$.
 
            \emph{Te podzielności są szczególnymi przypadkami tzw. małego
            twierdzenia Fermata, mówiącego, że $p|m^p - m$ jeżeli liczba $p$
            jest pierwsza, a $m$ dowolna całkowita.}
 
            A więc mamy rozstrzygnąć, dla jakich $n$ liczba $n^5 - n$ jest
            podzielna przez $8$.
 
            Rozważmy przypadek $n$ parzystego i nieparzystego.
            \begin{enumerate}
                \item $2|n$. Wynika stąd, że $2\not| n-1$, $2\not| n+1$ i
                    $2\not| n^2 + 1$.
 
                    A więc $8 | n^5 - n = n(n+1)(n-1)(n^2 +1)$ wtedy i tylko
                    wtedy, gdy $8|n$.
                \item $2\not|n$, zatem $2|n-1$, $2|n+1$, $2|n^2 +1$, więc
                    $$8\ |\ (n-1)(n+1)(n^2+1)\ |\ n^5 - n$$
            \end{enumerate}
 
            \textbf{Odpowiedź:} $120|n^5 - n$ dla $n$ podzielnego przez $8$
            lub nieparzystego.
        \end{sol}
    \item Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi
        nierówność
        $$\frac{a^2}{4} + b^2 + c^2 \geq ab - ac + 2bc$$
 
        \begin{proof}
            Nierówność jest równoważna nierówności
            $$\left( \frac{a}{2} + c - b \right)^2 \geq 0$$
            która jest oczywiście prawdziwa.
        \end{proof}
    \item Niech $I$ będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ostrokątny $ABC$,
         $k, l, m$ oznaczają symetralne odcinków $AI, BI, CI$ odpowiednio.
         Oznaczmy jako $X, Y,Z$ punkty przecięcia prostych $k,l$, $l,m$,
         $m,k$. Uzasadnić, że na sześciokącie $ABCXYZ$ da się opisać okrąg.
 
         \begin{proof}
             \begin{lem}
                 Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg $o$. Niech $I$ oznacza
                 środek okręgu wpisanego $ABC$, $S$ oznacza punkt przecięcia
                 $AI$ z okręgiem $o$. Wtedy
                 $$|BS| = |CS| = |IS|$$
             \end{lem}
                \begin{proof}
                    Prosta $AI$ jest dwusieczną, zatem $\angle SAB = \angle
                    SAC$. Ponadto $\angle SAB = \angle SCB$ i $\angle SAC =
                    \angle SBC$ na mocy równości kątów wpisanych w okrąg.
                    Łącząc te zależności uzyskujemy
                    $$\angle SCB = \angle SBC$$
                    a więc $|SB| = |SC|$.
 
                    Pozostaje udowodnić $|SB| = |SI|$.
 
                    Oznaczmy $\alpha := \angle BAC,\ \beta:=\angle ABC,\
                    \gamma:=\angle BCA$.
 
                    Popatrzmy na trójkąt $\triangle ISB$. Mamy
                    $$\angle IBS = \beta/2 + \alpha/2\hbox{ oraz }\angle ISB =
                    \gamma$$
                    zatem $\angle SIB = 180\deg - \beta/2 - \alpha/2 - \gamma
                    = \alpha/2 + \beta/2 = \angle IBS$.
 
                    Tak więc trójkąt $ISB$ jest równoramienny -- $|IS| =
                    |BS|$, co kończy dowód.
                \end{proof}
 
                Wracając do zadania rozważmy punkt $S$ przecięcia $AI$ z okręgiem
                opisanym na $ABC$. Lemat orzeka, że zachodzą równości
                $$|SI| = |SB|  \hbox{ oraz } |SI| = |SC|$$
 
                \emph{Przypomnijmy: }
                Symetralna danego odcinka $KL$ to inaczej zbiór \emph{wszystkich} punktów
                równoodległych od $K$ i $L$.
 
                Z powyższych równości wynika, że $S$ leży na symetralnej $BI$
                i na symetralnej $CI$. Zatem $S = Z$, czyli punkt $Z$
                leży na okręgu opisanym na $ABC$. Rozpatrując analogicznie
                przecięcia $BI$ i $CI$ z okręgiem dowodzimy, że również
                punkty $X$ i $Y$ leżą na okręgu opisanym na $ABC$, zatem na
                sześciokącie $ABCXYZ$ da się opisać okrąg.
         \end{proof}
 \end{enumerate}
 \end{document}