Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: hardsze-nierownosci.tex
%     Created: Mon Mar 31 11:00 AM 2014 C
% Last Change: Mon Mar 31 11:00 AM 2014 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=18cm, textheight=26.5cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
    %\vspace*{-1.5cm}
    \stepcounter{section}%
    \begin{center}%
        \begin{minipage}{2.5cm}
            \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
        \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
            \begin{center}
                {\Huge \bfseries \center #1}
 
                \vskip 1mm
                \small \normalfont \sc
                \author{}\\
                \date{}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}
    \HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
    \vskip 3mm
    \noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
    \stepcounter{problem}
    \vskip 3mm
    \noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
    {
 
    }
 
    \pagestyle{empty}
 
    \def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
    \renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
    \renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
    \renewcommand{\leq}{\leqslant}
    \renewcommand{\geq}{\geqslant}
    \renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
    \def\sectionwidth{10cm}
    \def\headpicture{final-countdown}
    \def\author{kółko I~LO Białystok}
    \def\date{31 marca 2014}
    \begin{document}
    \vspace*{-1cm}
    \section{\Large We've learning together,\\but still its so late\ldots }
 
    \subsection{Nieco przypomnienia --- jedno-monotoniczne}
 
    \def\mono#1#2{\left\lceil\begin{matrix}#1\\#2\end{matrix}\right\rfloor}
    Jeżeli mamy ciągi liczb rzeczywistych $a_1,\dots,a_n, b_1,\dots, b_n$ to
    \[
        \mono{a_1&a_2&\dots&a_n}{b_1&b_2&\dots&b_n} := a_1b_1 + a_2b_2 + \dots +
        a_nb_n.
    \]
    jest fajnym zapisem czegoś oczywistego. Przykładowo
    $5 = \mono{2& 1}{2& 1} > \mono{1& 2}{2& 1} = 4$. To jest ogólniejszy fenomen:
 
    \begin{thm}
        Weźmy ciągi niemalejące $a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$ oraz $b_1 \leq b_2\leq
        \dots \leq b_n$.
        Jeżeli $b_1',\dots, b_n'$ jest permutacją ciągu
        $b_1,\dots, b_n$, to
        \[\mono{a_1&a_2&\dots & a_n}{b_n & b_{n-1} & \dots & b_1}\leq
            \mono{a_1&a_2&\dots & a_n}{b'_1 & b'_2 & \dots & b'_n}\leq
        \mono{a_1&a_2&\dots & a_n}{b_1 & b_2 & \dots & b_n}.\]
        Innymi słowy: największą wartość osiągamy układając ciągi zgodnie,
        najmniejszą~--- przeciwnie.
    \end{thm}
 
    \subsection{Nieco przypomnienia~--- Jensen}
 
    \begin{thm}[nierówność Jensena]
        Niech $f:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}$ będzie funkcją wypukłą. Jeżeli
        liczby
        $x_1,x_2,\dots,x_n$ są dodatnie, zaś liczby nieujemne
        $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ sumują się do $1$, to zachodzi
        \[f(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\dots+\alpha_n x_n)\leq\alpha_1 f(x_1)+\alpha_2 f(x_2)+\dots+\alpha_n f(x_n)\]
        Jeśli funkcja jest wklęsła, nierówność zachodzi w~drugą stronę.
    \end{thm}
 
 
    \subsection{Nieco niebanalnych (nie)zadanek}
 
    \begin{problem}
        Rozstrzygnij, który ze znaków $\leq$, $\geq$ (jeżeli którykolwiek)
        można wstawić w~miejsce $\square$ tak, by otrzymana nierówność była
        prawdziwa dla wszystkich liczb $a$, $b$, $c$, $d$ rzeczywistych dodatnich
        \[
            a^4b + b^4c + c^4d + d^4a\ \square\ a^3bc + b^3cd + c^3da + d^3ab.
        \]
    \end{problem}
 
 
    \begin{problem}[Warsztaty Mat. 2010]
        Dane są liczby rzeczywiste dodatnie $a_1, \ldots ,a_{2014}$. Wykaż, że
        zachodzi nierówność
        \[
            \sum_{j=1}^{2010} \frac{a_j^2}{a_j + a_{j+1}} \geq
            \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2010} a_j.
        \]
    \end{problem}
 
    \begin{problem}[OM 2001]
        Niech $x_1, \ldots ,x_{2014}$ będą liczbami nieujemnymi. Pokaż, że
        \[
            \sum_{i=1}^{2014} x_i^{i} + \binom{2014}{2} \geq
            \sum_{i=1}^{2014} i\cdot x_i.
        \]
    \end{problem}
 
    \begin{problem}[Olimpiada Ukraińska 96]
        Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$, $c$ zachodzi
        nierówność
        \[
            \frac{a^3}{b + 2c} + \frac{b^3}{c + 2a} + \frac{c^3}{a + 2b} \geq
            \frac{a + b + c}{3}.
        \]
        \emph{Częściowa wskazówka: można przepałować, zrobić z~ciągów
        jednomonotonicznych, z~Jensena albo pochodnymi.}
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Rozstrzygnij, który ze znaków $\leq$, $\geq$ (jeżeli którykolwiek)
        można wstawić w~miejsce $\square$ tak, by otrzymana nierówność była
        prawdziwa dla wszystkich liczb $a$, $b$, $c$ rzeczywistych dodatnich
        \[
            a^4b + b^4c + c^4a \ \square\ a^3bc + b^3ca + c^3ab.
        \]
        \emph{To zadanie pokazuje różnicę pomiędzy nierównościami w~trzech
        i~czterech zmiennych.}
    \end{problem}
 
    \end{document}