Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: choinkolko.tex
%     Created: Fri Dec 20 09:00 AM 2013 C
% Last Change: Fri Dec 20 09:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
    %\vspace*{-1.5cm}
    \stepcounter{section}%
    \begin{center}%
        \begin{minipage}{2.5cm}
            \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
        \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
            \begin{center}
                {\Huge \bfseries \center #1}
 
                \vskip 1mm
                \small \normalfont \sc
                \author{}\\
                \date{}
            \end{center}
        \end{minipage}
    \end{center}
    \HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
    \vskip 3mm
    \noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
    \stepcounter{problem}
    \vskip 3mm
    \noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
    {
 
    }
 
    \pagestyle{empty}
 
    \def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
    \renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
    \renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
    \renewcommand{\leq}{\leqslant}
    \renewcommand{\geq}{\geqslant}
    \renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
    \def\sectionwidth{7cm}
    \def\headpicture{choinkolko.jpg}
    \def\author{kółko I~LO Białystok}
    \def\date{20 grudnia 2013}
    \begin{document}
    \section{Choinkółko}
 
    \begin{problem}[grudniowe kółko PG]
        Wyznacz wszystkie wielomiany $A(x), B(x), C(x), D(x)$ spełniające dla
        wszystkich liczb rzeczywistych warunki
        \begin{enumerate}
            \item $A(0) = 0$, $A(x) = \frac{1}{2}\left( A(x-1) + A(x+1)
                \right)$,
            \item $xB(x-1) = (x-2)B(x)$,
            \item $C(x^2) = C(x)^2$,
            \item $D(x^2 - 2x) = (D(x-2))^2$.
        \end{enumerate}
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Wielomian $P$ o~współczynnikach całkowitych ma cztery różne pierwiastki
        całkowite. Czy może on przyjąć wartość $P(x) = 5$ dla pewnej liczby całkowitej
        $x$?
    \end{problem}
 
    \begin{problem}[grudniowe kółko PG]
        Wielomian $w(x)$ ma współczynniki całkowite oraz
        $\abs{w(p)} = \abs{w(q)} = 1$ dla liczb całkowitych $p < q$.
        Uzasadnij, że jeśli $a$ jest pierwiastkiem wymiernym $w$, to $a =
        (p+q)/2$.
        Czy teza zadania pozostanie prawdziwa bez założenia, że $w$ ma
        współczynniki całkowite?
    \end{problem}
 
    \begin{problem}[klasyka]
        Liczby rzeczywiste $x$, $y$, $z$ spełniają układ równań
        \[
            x + y + z =6,\quad xy + yz + zx = 11,\quad xyz = 6.
        \]
        Oblicz te liczby.
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Rozstrzygnij, czy istnieje wielomian $W$ o~współczynnikach całkowitych
        spełniający \[W(20) = 12\quad \mbox{oraz} \quad W(2013) = 2014.\]
    \end{problem}
 
    \begin{problem}
        Wielomian $W$ o~współczynnikach rzeczywistych przyjmuje wartość
        całkowitą dla każdej liczby całkowitej. Czy prawdą jest, że
        współczynniki $W$ są całkowite?
    \end{problem}
 
    \begin{problem}[staszic]
        Czy istnieje wielomian o~współczynnikach całkowitych, którego
        wartość dla każdej liczby parzystej jest liczbą pierwszą?
    \end{problem}
 
    \end{document}