|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setlist{noitemsep}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{11cm}
\def\headpicture{stala}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{13 grudnia 2013}
\begin{document}
\section{Nierówność Jensena dla $x^{\alpha}$}
\emph{Zdecydowana większość materiału jest bezczelnie zerżnięta z~wykładu
Oli Baranowskiej z~Proserw 2011,
zachęcam do porównania. Inne możliwe źródła to
{\normalfont\url{matma.ilo.pl}}, czy
google~--- jest sporo wyników z~zadaniami.}
\begin{defn}
\mbox{}\vskip 0mm
\begin{minipage}{8cm}
Funkcja $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ jest \emph{wypukła} wtedy i~tylko wtedy, gdy
dla wszystkich $x,y\in[a,b]$ i~dowolnej liczby $t\in[0,1]$ zachodzi
nierówność: \[f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).\] Gdy nierówność zachodzi w~drugą stronę, funkcja jest wklęsła.
\end{minipage}\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics{wypukle}
\end{minipage}
\end{defn}
Nas w~zasadzie odchodzi jedynie wniosek:
\begin{cor}
Niech $\alpha$ będzie ustaloną liczbą rzeczywistą.
Jeżeli $\alpha > 1$ lub $\alpha < 0$ to funkcja $f(x) = x^{\alpha}$
jest wypukła. Jeżeli $\alpha\in (0, 1)$, to funkcja ta jest wklęsła.
\end{cor}
Na przykład funkcja $x^2$ jest wypukła, zaś funkcja $\sqrt{x}$ jest
wklęsła.
Ogólnie, jeżeli istnieje druga pochodna funkcji $f$, to $f$ jest wypukła
na $[a, b]$
wtedy i~tylko wtedy, gdy druga pochodna jest nieujemna na $[a, b]$.
Podobnie $f$ jest wklęsła, jeżeli druga pochodna $f$ jest niedodatnia.
\begin{thm}[nierówność Jensena]
Niech $f:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}$ będzie funkcją wypukłą. Jeżeli
liczby
$x_1,x_2,\dots,x_n$ są dodatnie, zaś liczby \underline{nieujemne}
$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ sumują się do $1$, to zachodzi
\[f(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\dots+\alpha_n x_n)\leq\alpha_1 f(x_1)+\alpha_2 f(x_2)+\dots+\alpha_n f(x_n)\]
Jeśli funkcja jest wklęsła, nierówność zachodzi w~drugą stronę.
\end{thm}
Liczby $\alpha_1, \ldots ,\alpha_n$ nazywamy \emph{wagami}, najczęściej
używamy wag $\alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_n = 1/n$ lub wag $\alpha_1 =
x_1/(x_1 + \ldots + x_n), \alpha_2 = x_2/(x_1 + \ldots + x_n),
\ldots ,\alpha_n = x_n(x_1 + \ldots + x_n)$.
\begin{problem}
Wykaż, że dla dowolnych $a,b,c$ dodatnich zachodzi
\[3a^2+3b^2+3c^2\geq(a+b+c)^2.\]
\end{problem}
\begin{problem}
Dowiedź, że jeśli $a,b,c$ są dodatnie i sumują się do $1$, to
\[a^3+b^3+c^3\geq(a^2+b^2+c^2)^2.\]
\end{problem}
\begin{problem}
Niech $x_1, \ldots ,x_n$ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi.
\begin{enumerate}
\item Udowodnij, że zachodzi tzw.~nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną i~kwadratową
\[
\frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \leq \sqrt{\frac{x_1^2 + \ldots +
x_n^2}{n}}.
\]
\item Udowodnij, że zachodzi tzw.~nierówność pomiędzy średnią
kwadratową i~sześcienną, tzn.
\[
\sqrt{\frac{x_1^2 + \ldots +
x_n^2}{n}} \leq \sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \ldots +
x_n^3}{n}}.
\]
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}
Udowodnij nierówność
\[\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}\leq 2\sqrt[3]{3}.\]
\end{problem}
\begin{problem}
Wykaż, że dla dowolnych $x,y,z$ dodatnich zachodzi
\[x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\leq\sqrt{2(x+y+z)(xy+yz+zx)}.\]
\end{problem}
\subsection{*Nierówność Jensena dla funkcji innych niż $x^{\alpha}$.}
\begin{problem}
Pokaż, że dla $x,y,z\in\mathbb{R}_+$ takich, że $x+y+z=1$ zachodzi
\[\frac{3x+1}{x+1}+\frac{3y+1}{y+1}+\frac{3z+1}{z+1}\leq\frac{9}{2}.\]
\end{problem}
\begin{problem}
Pokaż, że jeśli $a,b,c$ są liczbami dodatnimi sumującymi się do $1$, to zachodzi
\[\sqrt{(b+c)(2a+b+c)}+\sqrt{(a+c)(a+2b+c)}+\sqrt{(a+b)(a+b+2c)}\leq 2\sqrt{2}.\]
\end{problem}
\end{document}
|
