|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zadania.tex
% Created: Fri Nov 29 08:00 AM 2013 C
% Last Change: Fri Nov 29 08:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=17cm, textheight=27cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{mathtools}
%\DeclarePairedDelimiter{\floor}{\lfloor}{\rfloor}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{7cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{29 listopada 2013}
\begin{document}
\section{Nierówności}
Zadania w~sporej części pochodzą z~białostockiego koła PTM,
\url{ptm.pb.edu.pl}.
\def\bareroger{\includegraphics[height=1em]{jolly-roger-mat}}
\def\roger{\ \ \hbox{\bareroger{}}\ \ }
\subsection{Twierdzenie B\`ezouta}
Twierdzenie B\`ezouta daje użyteczny, choć i~prosty trik do zwijania
nierówności. Jeżeli mamy wielomian $Q$ od zmiennych $a, b$ i~podstawienie
$a :=
b$ sprawia, że wielomian $Q$ staje się zerem, to $Q = (a - b)\cdot R$,
gdzie $R$ jest innym wielomianem. Przykładowo
skoro $a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$ staje się zerem po
podstawieniu $a := b$, więc $a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 =
(a-b)\cdot \mbox{ COŚ}$. Przeliczenie daje $\mbox{COŚ} = a^3 - 3a^2b +
3ab^2 - b^3$, więc znowu możemy zapisać $\mbox{COŚ} = (a-b)\mbox{
COŚ}_2$ itd. Oczywiście twierdzenie nie jest potrzebne do tego, by tak
zapisywać, ale warto wiedzieć, że można łatwo sprawdzić, czy da się
wyłączyć $a - b$ przed nawias. Ten sam trik działa oczywiście również dla
podstawienia $a := 3b$ itd.
\begin{problem}
Liczby $a, b$ są rzeczywiste dodatnie.
We wszystkich poniższych nierównościach zastąp \bareroger{} jednym ze
znaków: $\geq, \leq$ po czym udowodnij otrzymaną nierówność.
\begin{enumerate}
\item $ab^{n-1} + a^{n-1}b \roger a^n + b^n$, gdzie
$n$ jest całkowite dodatnie.
\item $a^{-1}b^{n+1} + a^{n+1}b^{-1} \roger a^n + b^n$, gdzie $n$ jest całkowite dodatnie.
\item $a^{k}b^{n-k} + a^{n-k}b^{k} \roger a^n + b^n$, gdzie $n$
jest całkowite dodatnie, zaś $k$ jest całkowite z~przedziału
$[0, n]$.
\item $n(a-b)(a^{n-1} + b^{n-1})\roger 2(a^n - b^n)$, gdzie $n\in
\mathbb{Z}_+$.
\item $(1+a^3)^2(1+b^3) \roger (1+ab^2)^3$.
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}
Liczby dodatnie $a, b, c$ są takie, że
\[
abc = 1\mbox{ oraz } a + b + c > a^{-1} + b^{-1} + c^{-1}.
\]
Wykaż, że dokładnie jedna z~tych liczb jest większa od $1$.
\end{problem}
\subsection{Średnie}
\begin{problem}
Liczby $x_1, \ldots ,x_n$ są dodatnie.
We wszystkich poniższych nierównościach zastąp \bareroger{} jednym ze
znaków: $\geq, \leq$ po czym udowodnij otrzymaną nierówność.
\begin{enumerate}
\item $\frac{1}{n}\left( x_1^2 + \ldots + x_n^2
\right) \roger \left(\frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}\right)^2$,
\item $\frac{1}{n}\left( \sqrt{x_1} + \ldots + \sqrt{x_n}
\right) \roger \sqrt{\frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}}$,
\item $\frac{1}{n}\left( \sqrt[3]{x_1} + \ldots + \sqrt[3]{x_n}
\right) \roger \sqrt[3]{\frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}}$.
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}
Liczby dodatnie $a_1, \ldots ,a_n$ sumują się do $1$. Wyznacz,
w~zależności od $n$,
najmniejszą możliwą wartość wyrażenia
\[
\frac{a_1}{2 - a_1} + \ldots + \frac{a_n}{2 - a_n}.
\]
\end{problem}
\begin{problem}
Liczby $x, y, z, t$ są nie mniejsze od $1/4$ i~spełniają równość $x^2
+ y^2 + z^2 + t^2 = 1$. Wyznacz najmniejszą i~największą wartość, jaką
może przyjąć iloczyn $xyzt$.
\end{problem}
\begin{problem}
Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, \ldots ,x_n$
zachodzi nierówność
\[
x_1 x_2 \ldots x_n \leq \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^4}{4} +
\frac{x_3^8}{8} + \ldots + \frac{x_n^{2^n}}{2^n} +
\frac{1}{2^n}.
\]
\end{problem}
\begin{problem}[*]
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b, c$ zachodzi nierówność
\[6(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\leq 9(a^3+b^3+c^3)+(a+b+c)^3.\]
\end{problem}
\end{document}
|
