|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zadania.tex
% Created: Fri Oct 18 09:00 AM 2013 C
% Last Change: Fri Oct 18 09:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=26cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{9cm}
\def\headpicture{30kat}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{18 października 2013}
\begin{document}
\section{Geometria foremna}
\subsection*{Nieco prostsze}
\begin{problem}
Uzasadnij, że punkt przecięcia wysokości trójkąta ostrokątnego jest
środkiem okręgu wpisanego w~trójkąt, którego wierzchołkami są spodki
wysokości. Czy coś zmieni się, jeżeli odrzucimy założenie
ostrokątności?
\end{problem}
\begin{problem}
Punkt $P$ leży wewnątrz kwadratu $ABCD$ i~jest taki, że trójkąt $APB$
ma miary kątów $ \angle PAB = \angle PBA = 15^\circ$. Oblicz miary
kątów $ \triangle CDP$.
\end{problem}
\begin{problem}
Oznaczmy przez $b, c$ długości boków $AB, AC$ trójkąta $ABC$.
\begin{enumerate}
\item Niech $D$ będzie punktem przecięcia dwusiecznej $ \angle
BAC$ z~bokiem $BC$. Oblicz $BD/CD$ w~zależności od~$b, c$.
\item $\star$ Prosta $\ell$ jest \emph{symedianą} z~wierzchołka
$A$ w~trójkącie
$ABC$ tzn.
odbiciem środkowej $AM$ względem dwusiecznej kąta $
\angle BAC$.
Niech $E$ będzie punktem przecięcia $\ell$ z~bokiem $BC$.
Oblicz $BD/CD$ w~zależności od~$b, c$.
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}
Na bokach trójkąta ostrokątnego $ABC$ zbudowano, po zewnętrznej stronie, kwadraty
$ABD_1 D_2, BCE_2 E_1$. Uzasadnij, że proste $AE_1, CD_1, E_2 D_2$
mają punkt wspólny.
\end{problem}
\begin{problem}
Znajdź największy wspólny dzielnik wszystkich liczb postaci
$7^{n + 2} + 8^{2n + 1}$, gdzie $n$ jest całkowite nieujemne.
\end{problem}
\begin{problem}
Dla liczby całkowitej dodatniej $n$ wyznaczyć największą liczbę $k = k(n)$ o~tej
własności, że w~zbiorze $n$ elementowym można wybrać $k$ różnych
podzbiorów, spośród których każde dwa mają niepuste przecięcie.
\end{problem}
\subsection*{Trudniejsze}
\begin{problem}
Ciąg $\{p_n\}$ określony jest następująco: $p_1 = 2, p_2 = 3$ oraz
$p_n$ jest największym dzielnikiem pierwszym liczby $p_1\dots
p_{n-1} + 1$. Czy ciąg $\{p_n\}$ zawiera wszystkie liczby
pierwsze?
\end{problem}
\begin{problem}
Dany jest~dziewięciokąt foremny $A_1 A_2\dots A_9$. Punkt $P$ jest
środkiem mniejszego łuku $A_2 A_3$, zaś $M$ jest środkiem odcinka $A_7
A_8$.
\begin{enumerate}
\item Uzasadnij, że proste $A_6 P, A_1 A_5, A_4 A_8$ przecinają się w~jednym
punkcie $E$. Oblicz miarę $ \angle A_9 EA_8$.
\item Uzasadnij, że proste $A_5 A_9, A_6 A_{1}, A_3 M$ przecinają
się w~jednym punkcie.
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}[$\star$]
Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ trójkąta $ABC$. Punkt $D$ leży
wewnątrz tego trójkąta i~spełnia warunki: $ \angle DAC = \angle ABC,
\angle DCA = \angle BCM$. Wykazać, że prosta $DM$ jest równoległa do
prostej $BC$.
\end{problem}
\begin{problem}[$\star\star$, bo zrobiłem sinusami :)]
Na bokach $BC$ i~$AC$ trójkąta $ABC$ wybrano odpowiednio punkty $D$
i~$E$ tak, że zachodzą równości $ \angle BAD = 50^\circ, \angle ABE = 30^\circ$. Obliczyć
miarę $\angle BED$, jeśli $ \angle ABC = \angle ACB = 50^\circ$.
\end{problem}
\begin{problem}[:)]
Udowodnij, że w 30-kącie foremnym przekątne $A_1 A_{19}, A_3 A_{24} \hbox{ oraz
} A_8 A_{28}$ przecinają się w jednym punkcie.
\end{problem}
\end{document}
|
