|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: masy2013.tex
% Created: Tue May 07 10:00 AM 2013 C
% Last Change: Tue May 07 10:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{multicol}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{9cm}
\def\headpicture{wyniczki.png}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{7 maja 2013}
\begin{document}
\section{Środek masy\\{\scriptsize Dajcie mi punkt podparcia, a~poruszę Ziemię.}}
\emph{To kółko jest w~dużej części powieleniem starszych; zachęcam do
pooglądania rozwiązań na matma.ilo.pl, w~szukaj ``środek masy''. Zadania
pochodzą również z~deltami i~Staszica.}
\subsection{Teoria}
Wszędzie poniżej zakładamy, że jesteśmy w~płaszczyźnie lub w~przestrzeni i~że
mamy dany pewien układ współrzędnych (kartezjańskich). Nie będę o~tym
mówić, ale rozważania nie zależą od wyboru układu.
Dla wygody oznaczeń definiujemy też operacje na punktach -- mnożenie przez
liczbę rzeczywistą i~dodawanie.
Niech $A = (a_1, a_2)$, $B = (b_1,
b_2)$ oraz $K\in \mathbb{R}$. Wtedy
\[
A + B = (a_1, a_2) + (b_1, b_2) := (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
\[
K\cdot A = K(a_1, a_2) := (Ka_1, Ka_2)
\]
\emph{Jeżeli ktoś woli: są to ``szkolne'' operacje mnożenia przez skalar
i~dodawania wektorów. Równie dobrze można to robić w~trzech wymiarach.}
Rozważamy punkty z~masami tj. pary $(A, m)$, gdzie $A$ jest punktem, a~$m$
jest liczbą rzeczywistą (niekoniecznie dodatnią!) czyli ``masą''.
\begin{defn}
\textbf{Środkiem masy} układu punktów $(m_1, A_1), \cdots, (m_n, A_n)$ jest
punkt (z~masą):
\[
\left(\frac{m_1\cdot A_1 + \cdots + m_n\cdot A_n}{m_1 + \cdots +
m_n}, m_1 + \cdots + m_n\right)
\]
o~ile $m_1 + \cdots + m_n \neq 0$. Jeżeli $m_1 + \cdots + m_n = 0$ to
mówimy, że układ \textbf{nie posiada środka masy}. Wszędzie poniżej
unikamy obliczania środków masy układów o~sumie mas zerowej.
\end{defn}
\begin{thm}[o~przegrupowywaniu]
Załóżmy, że układ $(A_1, m_1), \cdots, (A_n, m_n)$ ma środek masy $\mathcal{M}$ i~układ
$A_1,\cdots,A_l$ ma środek masy $M$, wtedy układ $M, A_{l+1}, \cdots, A_n$
także ma środek masy $\mathcal{M}$.
\end{thm}
\emph{Intuicyjnie: chcąc obliczyć środek masy możemy zamieniać część punktów
na ich środek masy, wyróżniłem akurat punkty $A_1,\cdots,A_l$ tylko ze względu
na prostotę oznaczeń ;)}
\begin{proof}
Obliczam
\[
\mathcal{M} = \left( \frac{m_1A_1 + \cdots + m_nA_n}{m_1 + \cdots + m_n},
m_1 + \cdots + m_n\right)\quad
M = \left( \frac{m_1A_1 + \cdots + m_lA_l}{m_1 + \cdots + m_l}, m_1 +
\cdots + m_l \right)
\]
Suma mas układu $M,(A_{l+1}, m_{l+1}), \cdots, (A_n, m_n)$ to $(m_1 +\cdots + m_l) + m_{l+1}
+ \cdots + m_n$, czyli jest ona niezerowa (bo to masa całego układu)
więc~środek masy istnieje i~wyraża się wzorem
\[
\left( \frac{(m_1 + \cdots + m_l)\frac{m_1A_1 + \cdots + m_lA_l}{m_1 +
\cdots + m_l} + m_{l+1}A_{l+1} + \cdots + m_nA_n}{(m_1 + \cdots + m_l) +
m_{l+1} + \cdots + m_n}, (m_1 + \cdots + m_l) + m_{l+1} + \cdots + m_n\right) = \mathcal{M}
\]
\end{proof}
\begin{cor}
Twierdzenie sprowadza liczenie środka masy do liczenia środka masy dwóch
punktów.
\end{cor}
\textbf{Uwaga:} jak widać, teoria środka masy jest ``nakładką'' na liczenie
współrzędnych punktów w~układzie współrzędnych. Nie daje jej to, a~priori,
wielkiej siły rażenia, ale wiele zadań polega na problemie typu ``to się da
policzyć, ale to boli!'' i~wtedy jest to przydatne.
\subsection{Pytania i~zadania wstępne}
\begin{enumerate}
\item Gdzie leży środek masy układu złożonego z~jednego punktu?
\item Gdzie leży
środek masy układu złożonego z~dwóch punktów?
\item Załóżmy, że punkty $A, B, C$ tworzą trójkąt. Czym są (jaka jest
konstrukcja) punkty będące środkami ciężkości układów:
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $(A, 0), (B, 1), (C, 1)$,
\item $(A, 1), (B, 1), (C, 1)$,
\item $(A, -1), (B,1), (C, 0)$,
\item $(A, -1), (B,1), (C, 1)$?
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\begin{problem}[Zmiana jednostki]\label{scaling}
Uzasadnij, że środek masy nie zmieni się, jeżeli wszystkie masy układu
pomnożymy przez liczbę dodatnią.
\end{problem}
\subsection{Zadania nieco prostsze}
\begin{problem}
Uzasadnij, że w~trójkącie trzy środkowe przecinają się w~jednym punkcie,
który dzieli każdą z~nich w~stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka.
\end{problem}
\begin{problem} Niech $ABCD$ będzie wypukłym czworokątem i niech $K,L,M,N$ będą
środkami boków $AB,BC,CD,DA$ odpowiednio. Udowodnij, że $KM$ i $LN$
połowią się, więc $KLMN$ jest równoległobokiem i że środek tego
równoległoboku pokrywa się ze środkiem odcinka łączącego środki
przekątnych.
\end{problem}
\begin{problem}
Wykaż, że wszystkie osie symetrii wielokąta przecinają się w~jednym
punkcie.
\end{problem}
\begin{problem}
Czy dla dowolnego punkty $S$ wewnątrz trójkąta $ABC$ da się dobrać masy
w~punktach $A, B$ i~$C$, żeby środkiem masy było $S$?
Czy fakt, że $S$ leżał wewnątrz trójkąta miał znaczenie?
\end{problem}
\begin{problem}
Dany jest czworokąt $ABCD$. Punkty $X, Y, Z, T$ leżą na bokach $AB$,
$BC$, $CD$, $DA$ odpowiednio, przy czym $AX/BX = DZ/CZ = 3$ oraz $BY/CY
= AT/DT = 5$. Niech $E$ będzie punktem przecięcia $XZ$ i~$YT$. Ile
wynosi $XE/EZ$, a~ile $YE/TE$?
\end{problem}
\begin{problem}
Wykaż, że w~dowolnym czworościanie odcinki łączące środki przeciwległych
krawędzi przecinają się w~jednym punkcie.
\end{problem}
\subsection{$\star$ Zadania nieco \dots sami wiecie}
\begin{problem}[Twierdzenie Cevy] Punkty $X,Y,Z$ leżą na bokach $BC,CA,AB$ trójkąta
$ABC$ odpowiednio. Udowodnij, że proste $AX,BY,CZ$ mają punkt
wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy
\[\frac{AZ}{BZ}\cdot\frac{BX}{CX}\cdot\frac{CY}{AY}=1\]
\end{problem}
\begin{problem}
Na bokach $AB, BC, CA$ trójkąta $ABC$ wybrano punkty $Z, X, Y$ tak, że
\[\frac{AZ}{BZ} = \frac{BX}{CX} = \frac{CY}{AY}.\]
Dowiedź, że środki ciężkości trójkątów $ABC$ i~$XYZ$ pokrywają się.
\end{problem}
\begin{problem}
Punkty $K$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku
$ABCD$, przy czym $BK=DL$. Odcinki $DK$ i $BL$ przecinają się w punkcie
$P$. Dowieść, że prosta $AP$ jest dwusieczną kąta $BAD$.
\emph{Wskazówka: warto użyć tw. o~dwusiecznej: dwusieczna $\angle BAC$ dzieli bok
$BC$ w~stosunku $AB/AC$, żeby uniknąć kątów.}
\end{problem}
\begin{problem}
Czy da się znaleźć takie punkty $X, Y, Z$, leżące na bokach $BC, CA, AB$
pewnego trójkąta $ABC$ takie, że proste $AX, BY, CZ$ mają punkt wspólny
$M$
oraz
\[
\frac{AM}{MX} = \frac{BM}{MY} = \frac{CM}{MZ} = 3?
\]
Dla jakich innych liczb dodatnich, zamiast $3$, da się to zrobić?
\end{problem}
\begin{problem}[Twierdzenie val Aubela]
Dany jest trójkąt $ABC$ i~punkty $X, Y, Z$ leżące na bokach
odpowiednio $BC, CA, AB$. Proste $AX, BY, CZ$ przecinają się
w~punkcie $M$. Wykazać, że
\[
\frac{AM}{MX} = \frac{AY}{CY} + \frac{AZ}{BZ}.
\]
\end{problem}
\begin{problem}[Punkty szczególne w~trójkącie mające w~miarę strawne współrzędne
barycentryczne; współrzędne barycentryczne to te masy, które kładziemy
w~wierzchołkach.]\label{distpoints}
Udowodnić, że jeśli w~punktach $A, B, C$ trójkąta
położymy masy $m_1, m_2, m_3$ to środek ciężkości pokryje się
z~następującym punktem szczególnym trójkąta $ABC$:
\vspace{2mm}
\begin{tabular}[<+position+>]{|c|c|c|}
\hline
Punkt & masy & objaśnienie\\
\hline
środek ciężkości & $(1, 1, 1)$ &\\
środek okręgu wpisanego & $(a, b, c)$ & długości boków\\
środek okręgu dopisanego do $BC$ & $(-a, b, c)$ &\\
środek okręgu opisanego & $(\sin 2\alpha, \sin 2\beta, \sin
2\gamma)$ & $\alpha, \beta, \gamma$ to kąty przy $A,B,C$\\
ortocentrum & $(\tg \alpha, \tg \beta, \tg \gamma)$ & Co to znaczy
dla prostokątnego?\\ &&Najlepiej domnożyć przez
$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$\\
\hline
\end{tabular}
\end{problem}
\begin{problem}
Okrąg wpisany w~trójkąt $ABC$ jest styczny do boków $BC, CA, AB$
odpowiednio w~punktach $D, E, F$. Punkt $M$ jest środkiem boku $BC$, zaś
odcinki $AM$ i~$EF$ przecinają się w~punkcie $G$. Wykaż, że proste $GD$
i~$BC$ są prostopadłe.
\emph{Wskazówka: znajdź masy takie, żeby środkiem był punkt $G$, a~potem,
by środkiem był środek okręgu wpisanego.}
\end{problem}
\end{document}
|
