|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: starsi.tex
% Created: Tue Apr 23 11:00 AM 2013 C
% Last Change: Tue Apr 23 11:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=25cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{12cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{23 kwietnia 2013}
\begin{document}
\section{Ciągi jednomonotoniczne}
\vspace{1em}
Bardzo dobrym podręcznikiem, uczącym m.in. o~ciągach jednomonotonicznych jest
książka L.~Kurlandczyka ``Wędrówki po krainie nierówności''.
\def\mono#1#2{\left\lceil\begin{matrix}#1\\#2\end{matrix}\right\rfloor}
Jeżeli mamy ciągi liczb rzeczywistych $a_1,\dots,a_n, b_1,\dots, b_n$ to
\[
\mono{a_1&a_2&\dots&a_n}{b_1&b_2&\dots&b_n} := a_1b_1 + a_2b_2 + \dots +
a_nb_n.
\]
jest fajnym zapisem czegoś oczywistego. Przykładowo
$5 = \mono{2& 1}{2& 1} > \mono{1& 2}{2& 1} = 4$. To jest ogólniejszy fenomen:
\begin{thm}
Weźmy ciągi niemalejące $a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$ oraz $b_1 \leq b_2\leq
\dots \leq b_n$.
Jeżeli $b_1',\dots, b_n'$ jest permutacją ciągu
$b_1,\dots, b_n$, to
\[\mono{a_1&a_2&\dots & a_n}{b_n & b_{n-1} & \dots & b_1}\leq
\mono{a_1&a_2&\dots & a_n}{b'_1 & b'_2 & \dots & b'_n}\leq
\mono{a_1&a_2&\dots & a_n}{b_1 & b_2 & \dots & b_n}.\]
Innymi słowy: największą wartość osiągamy układając ciągi zgodnie,
najmniejszą~--- przeciwnie.
\end{thm}
\begin{proof}[Wskazówka do dowodu]
Chcemy wybrać i~``posortować'' permutację $b_1',\dots,b_n'$.
Wystarczy pokazać, że jeżeli $a_i \leq a_j$ oraz $b_i \geq b_j$, to
$a_ib_i + a_jb_j \leq a_ib_j + a_jb_i$.
\end{proof}
\begin{cor}
Ustalmy ciągi $a_1,\dots,a_n$ i~$b_1,\dots,b_n$ takie, że z~nierówności
$a_i > a_j$ wynika $b_i \geq b_j$.
Jeżeli $b_1',\dots, b_n'$ jest permutacją ciągu
$b_1,\dots, b_n$, to
\[\mono{a_1&a_2&\dots & a_n}{b_n & b_{n-1} & \dots & b_1}\leq
\mono{a_1&a_2&\dots & a_n}{b'_1 & b'_2 & \dots & b'_n}\leq
\mono{a_1&a_2&\dots & a_n}{b_1 & b_2 & \dots & b_n}.\]
\end{cor}
\begin{proof}
Zaiste, zamieńmy indeksy tak, by ciąg $a_1,\dots,a_n$ był uporządkowany
niemalejąco. Na mocy założeń $b_1,\dots,b_n$ też jest uporządkowany
niemalejąco!! Teraz możemy zastosować poprzednie stwierdzenie.
\end{proof}
Warto podkreślić, że, w~przeciwieństwie do średnich, ciągi nie potrzebują
założenia, że liczby są dodatnie.
\subsection*{Zadanka}
\begin{problem}
Uzasadnij, że dla liczb dodatnich $a, b$ zachodzi nierówność
\[
\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{a} \geq a^2 + b^2.
\]
\emph{Czy i~dlaczego warunek dodatniości liczb $a, b$ jest potrzebny?}
\end{problem}
\begin{problem}
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a, b$ zachodzi
\[2a^2b^2 \leq a^3b + b^3a \leq a^4 + b^4.\]
\end{problem}
\begin{problem}
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a, b, c, d$ zachodzi
\[
a^2b + b^2c + c^2d + d^2a \leq a^3 + b^3 + c^3 + d^3.
\]
\end{problem}
\begin{problem}
Uzasadnij, że jeżeli $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$ oraz $b_1\leq
b_2\leq \dots \leq b_n$, to
\[
n\cdot(a_1b_1+a_2b_2 + \dots + a_nb_n) \geq (a_1 + a_2 + \dots + a_n)\cdot (b_1 + b_2
+ \dots + b_n).
\]
Użyj tej nierówności, by udowodnić nierówność pomiędzy średnią
arytmetyczną i~kwadratową, ale uważaj na założenia.
\end{problem}
\begin{problem}
Uzasadnij, że jeżeli $a, b, c$ są dowolnymi liczbami dodatnimi, to
\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.
\]
\end{problem}
\begin{problem}
Niech w~trójkącie $ABC$ liczby $h_a, h_b, h_c$ oznaczają długości
wysokości opuszczonych na boki długości $a, b, c$ odpowiednio. Uzasadnij,
że
\[
\left( a + b + c \right)\left( h_a + h_b + h_c \right)\geq 18P_{ABC}.
\]
\end{problem}
\begin{problem}
Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność
\[\frac{a\sqrt{a}}{b+c}+\frac{b\sqrt{b}}{a+c}+\frac{c\sqrt{c}}{a+b} \geq
\frac{a\sqrt{a}}{a+b}+\frac{b\sqrt{b}}{b+c}+\frac{c\sqrt{c}}{c+a}.\]
\end{problem}
\begin{problem}
Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a,b,c$ zachodzi nierówność
\[\frac{a\sqrt{a}}{b+c}+\frac{b\sqrt{b}}{a+c}+\frac{c\sqrt{c}}{a+b} \geq
\frac{a\sqrt{b}}{a+b}+\frac{b\sqrt{c}}{b+c}+\frac{c\sqrt{a}}{c+a}.\]
\end{problem}
\end{document}
|
