|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: starsi.tex
% Created: Tue Mar 26 01:00 PM 2013 C
% Last Change: Tue Mar 26 01:00 PM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{6cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{26 marca 2013}
\begin{document}
\section{Gry zespołowe}
\subsection*{Przykład}
\begin{problem}
Na tablicy jest $10$ nierozwiązanych zadań.
Ruch w~``Rozwal zadanie!'' polega na rozwiązaniu jednego, dwóch lub trzech z~nich.
Wygrywa ten, kto rozwiąże ostatnie zadanie.
Jeżeli Magda i~Marysia wykonują ruchy naprzemiennie, przy czym zaczyna
Magda, to która z~nich ma strategię wygrywającą?
\end{problem}
\subsection*{Zadania drużynowe}
\begin{problem}
Na tablicy napisane są liczby $1, 2, \dots, 65535$. Szymon i~Przemek
wykonują ruchy naprzemiennie. W~jednym ruchu gracz wykreśla pewną liczbę
oraz wszystkie jej dzielniki. Wygrywa ten gracz, który wykreśli wszystkie
liczby. Zaczyna Szymon. Powiedz, dla jakich $n$
Przemek może wygrać?
\end{problem}
\begin{problem}[PTM 06]
Liczby rzeczywiste $a$ i~$b$ są takie, że równanie $x^2 + ax + b$ ma dwa
niezerowe pierwiastki będące liczbami całkowitymi.
Rozstrzygnąć, czy $a^2 + (b-1)^2$ może być liczbą pierwszą?
\end{problem}
\begin{problem}[prawie z~Proserw]
Karolina i~Ania grają w~następującą grę: na tablicy napisana jest liczba
$2$. W~każdym ruchu gracz ściera dotychczas napisaną liczbę $x$
i~zapisuje nową liczbę całkowitą $x + y$, gdzie $y$ jest wybraną przez
niego liczbą całkowitą dodatnią nie większą od $x$. Zaczyna Karolina. Wygrywa gracz,
który uzyska wynik $n$.
Który z~graczy może zawsze zwyciężyć, jeżeli
\begin{enumerate}
\item $n = 10$,
\item $n = 4095$?
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}[PTM 04]
Niech $n > 1$ będzie liczbą naturalną. Dla dowolnego niepustego podzbioru
$X$ zbioru $\{1, 2, \dots, n\}$ oznaczmy przez $m(X)$ sumę najmniejszej
i~największej liczby należącego do zbioru $X$. Niech $S$ będzie sumą
wszystkich liczb $m(X)$, gdzie $X \subseteq \left\{ 1, 2, \dots, n
\right\}$ (tzn. $X$ przebiega wszystkie niepuste podzbiory zbioru $\{1, 2,
\dots, n\}$). Wykazać, że liczba $S$ jest podzielna przez $n+1$.
\emph{Uwaga: $m(\{k\}) = k + k = 2k$.}
\end{problem}
\end{document}
|
