|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: fermaty.tex
% Created: Sun Mar 10 06:00 PM 2013 C
% Last Change: Sun Mar 10 06:00 PM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{6cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{12 marca 2013}
\begin{document}
\section{Fermaty}
\subsection{Zadania z~polibudki}
\begin{problem}
Udowodnij, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą, to
$30 | n^5 - n.$
\end{problem}
\begin{problem}
Niech $n\geq 1$ będzie liczbą naturalną, zaś $x_1,x_2,\dots,x_n$
liczbami całkowitymi, których suma dzieli się przez $10$. Udowodnić,
że liczba
\[x_1^5 + x_2^5 + \dots + x_n^5\]
jest również podzielna przez $10$.
\end{problem}
\begin{problem}
Wykazać, że jeżeli $x$ i $y$ są liczbami całkowitymi, to liczba
$xy^5 - x^5y$
jest podzielna przez $30$.
\end{problem}
\begin{problem}
Wykazać, że jeśli $p_1,p_2,\dots,p_{56}$ są liczbami pierwszymi
większymi od $7$, to liczba
\[p_1^6 + \dots + p_{56}^6\]
jest podzielna przez $56$.
\end{problem}
\subsection{Zadania prawie na Fermata}
\begin{problem}
Dowiedź, że jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą większą od $3$, to
$43\Big|7^p - 6^p - 1$.
\end{problem}
\begin{problem}[Twierdzenie Eulera]
Liczby całkowite $a$ i~$n$ są względnie pierwsze. Uzasadnij, że $a^{\varphi(n)}
\equiv 1 \mod n$, gdzie $\varphi(n)$ oznacza liczbę elementów zbioru
$\{a\ |\ a\in \{1, 2, \dots, n\}, NWD(n, a) = 1\}$.
\end{problem}
\begin{problem}
Niech $a, b$ będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi
dodatnimi.
Udowodnij, że istnieją liczby całkowite dodatnie $m, n$, takie, że
\[
ab\big|a^m + b^n - 1.
\]
\end{problem}
\begin{problem}
Liczby całkowite $a,b,c$ sumują się do zera. Rozstrzygnij,
czy $a^{61} + b^{61} + c^{61}$ może być liczbą pierwszą.
\end{problem}
\end{document}
|
