|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zad.tex
% Created: Thu Feb 14 01:00 PM 2013 C
% Last Change: Thu Feb 14 01:00 PM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=3.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{10cm}
\def\headpicture{sierpinski_valentine}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{14 lutego 2013}
\begin{document}
\section{Kółko przed olimpiadą,\\\large czyli byle do wiosny!}
\begin{problem}
Na herbatce na II etapie OMa jest $n$
dziewcząt i~$n$ chłopców. Każda dziewczyna lubi $r$ chłopców, a~każdy
chłopiec lubi $s$ dziewcząt. Wykaż, że jeżeli $r+s>n$, to istnieje
para, która lubi się nawzajem, a~jeżeli $r+s\leq n$ to może być tak, że
każde uczucie jest nieodwzajemnione.
\end{problem}
\begin{problem}
Dane są liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ takie, że $a_i\in \{1,-1\}$ dla
$i=1,2,\dots,n$ oraz
$$a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_{n-1}a_n + a_na_1 = 0.$$
Udowodnij, że $n$ jest podzielne przez $4$.
\end{problem}
\begin{problem}
Liczby dodatnie $a,b,c$ spełniają $abc=1$. Udowodnij, że
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq a + b + c.$$
\emph{Wskazówka: dla liczb o~iloczynie równym $1$ mamy jedno miłe
podstawienie.}
\end{problem}
\begin{problem}[dla Damiana]
W~trójkąt $ABC$ wpisano okrąg, tak, że jest on styczny do boku $AB$ w
punkcie $D$. Wykaż, że okręgi wpisane w trójkąty $ADC$ i $BDC$ mają punkt wspólny.
\end{problem}
\begin{problem}
Wykazać, że jeżeli $a>3$ jest liczbą całkowitą nieparzystą, to dla dowolnej liczby naturalnej $n$, liczba
$$a^{2^n} - 1$$
ma co przynajmniej $n+1$ różnych dzielników pierwszych.
\end{problem}
\begin{problem}
Wykaż, że każde dwie spośród liczb
\[2^{2^0} +1, 2^{2^{1}} + 1, 2^{2^{2}} + 1,\dots, 2^{2^{n}} + 1,\dots\]
są względnie pierwsze.
\end{problem}
\begin{problem}[dodatkowe]
Wielomian $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$ ma współczynniki leżące
w~przedziale $[-1, 1]$. Udowodnij, że nie ma on pierwiastków zawartych
w~przedziale $(-\infty, -2] \cup
[2, \infty)$.
\end{problem}
\end{document}
|
