Koło matematyczne I LO w Białymstoku

Zalecane użytkownanie po opanowaniu lemacików z kółka http://matma.ilo.pl/index.php/zadania-dla-starszych/54-koko-matematyczne-2011-2012/267-lemaciki-z-geometrii-koko-dla-starszych.html . Najprościej znaleźć to kółko dając w "Szukaj" słowo "lemaciki".

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: geometrie_lemacikowe.tex
%     Created: Wed Jan 30 11:00 PM 2013 C
% Last Change: Wed Jan 30 11:00 PM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
    \begin{minipage}{2.5cm}
        \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
    \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
        \begin{center}
            {\Huge \bfseries \center #1}
 
            \vskip 1mm
            \small \normalfont \sc
            \author{}\\
            \date{}
        \end{center}
    \end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\pagestyle{empty}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
\def\sectionwidth{6cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{31 stycznia 2012}
\begin{document}
\section{Geometrie,\\\large czyli za co kochamy OMa.}
 
\begin{problem}
    Prosta $PX$ jest styczna do okręgu $o$ w~punkcie $X$. Prosta $l$
    przechodzi przez $P$ i~przecina $o$ w~$Y, Z$ odpowiednio. Dowiedź, że
    $PX^2 = PY\cdot PZ$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Okręgi $o_1, o_2$ przecinają się w~$A, B$ a~punkt $C$ leży na prostej
    $AB$. Uzasadnij, że długości stycznych do okręgów $o_1, o_2$ wypuszczonych
    z~punktu $C$ są równe.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Punkt $E$ leży na boku $BC$ kwadratu $ABCD$. Czworokąt $BFGE$ jest
    kwadratem zbudowanym na zewnątrz kwadratu $ABCD$. Wykaż, że proste $AE,
    CF$ i~$DG$ przecinają się w~jednym punkcie.
 
    \includegraphics{1geo}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$. Okręgi o~środkach $P$ i~$Q$
    są wpisane odpowiednio w~trójkąty $ACD$ i~$BCD$. Okrąg wpisany w~trójkąt
    $ABC$ jest styczny do boku $AB$ w~punkcie $E$. Wykaż, że punkty $D, E,
    P, Q$ leżą na jednym okręgu.
 
    \includegraphics{2geo}
\end{problem}
 
\begin{problem}[$\star$]
    Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w~okrąg. Udowodnić, że środki okręgów
    wpisanych w~trójkąty $BCD, CDA, DAB$ oraz $ABC$ są wierzchołkami
    prostokąta.
\end{problem}
 
\begin{problem}[$\star$]
    \def\O{\mathcal{O}}
    Okrąg $o$ jest styczny do okręgu $\O$ wewnętrznie. Punkty $A, B$ leżą na
    $\O$ i~są nierówne $T$, a~proste $AK, BL$ są styczne do $o$ w~punktach $K,
    L$ odpowiednio. Udowodnij, że
    \[
    \frac{TA}{TB} = \frac{AK}{BL}.
    \]
 
\end{problem}
 
\newpage
 
Rysunek do zadania piątego~--- w~razie palącej potrzeby :)
 
\includegraphics{rect}
 
\end{document}