|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: more_of_that_jazz.tex
% Created: Thu Jan 31 12:00 AM 2013 C
% Last Change: Thu Jan 31 12:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{8cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{31 stycznia 2013}
\begin{document}
\section{Miks zadań\\\large tylko dlaczego wszystkie trudne?}
\emph{Uwaga: to niekoniecznie są zadania, które pojawiłyby się na OMie.}
\begin{problem}
W~zajęciach na feriach w~ILO uczestniczy $10$ osób. Przed pięciogodzinówką Yogi
schował zadania do szuflady. Zamki w~szufladzie są skonstruowane tak, że
każde $9$ osób może otworzyć szufladę, ale żadne $8$ osób nie może
otworzyć szuflady. Ile co najmniej jest zamków?
\end{problem}
\begin{problem}
Liczby $a, b$ są dodatnie i~mniejsze od $1$. Wykazać, że $a\cdot
\sqrt{b} + b\cdot \sqrt{a} + 1 > 3ab$.
\end{problem}
\begin{problem}
Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite nieujemne $n < 2501$, dla których
liczba $n^{11} - 2$ jest podzielna przez $2501$.
\end{problem}
\begin{problem}
Pomiędzy każdymi dwoma spośród $n$ miast istnieje połączenie lotnicze lub
połączenie kolejowe. Uzasadnij, że można wybrać typ połączeń, taki, że
pomiędzy każdymi dwoma miastami da się przejechać (być może
z~przesiadkami) używając tylko tego typu
połączeń.
\end{problem}
\begin{problem}
Trójkąt ostrokątny nierównoramienny $ABC$ jest wpisany w~okrąg. Punkty $P,
Q$ są odpowiednio środkami tych łuków $BC, CA$ okręgu $o$, które nie
zawierają $A, B$ odpowiednio.
Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w~$ \triangle ABC$, a~punkt $R$
jest taki, że $RPCQ$ jest równoległobokiem. Oblicz miarę kąta $ \angle
CIR$.
\end{problem}
\begin{problem}
Udowodnij, że jeżeli nieparzysta liczba pierwsza $p$ dzieli sumę liczb
całkowitych $a, b$, to dla każdego $n$ naturalnego
\[p^{n+1}\big|a^{p^n} + b^{p^{n}}.\]
\end{problem}
\begin{problem}
Dany jest $1000$-wyrazowy ciąg różnych liczb rzeczywistych. Dowieść, że
z~tego ciągu można wybrać $28$-wyrazowy podciąg rosnący lub $38$-wyrazowy
podciąg malejący.
\end{problem}
\begin{problem}
Dana jest taka liczba całkowita dodatnia $k$, że liczby $p = 6k+1, q = 12k
+1$ oraz $r = 18k + 1$ są pierwsze. Niech $n = pqr$. Dowiedź, że dla
każdego $a$ całkowitego zachodzi $n\big|a^n - a$.
\end{problem}
\begin{problem}[$\star$]
Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych $n$,
że suma cyfr liczby $3^n$ jest nie mniejsza niż suma cyfr liczby $3^{n+1}$.
\end{problem}
\begin{problem}
Wyznacz wszystkie liczby naturalne $n$ takie, że $(n-1)!$ nie jest
podzielna
przez $n^2$.
\end{problem}
\end{document}
|
