|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zadOMem.tex
% Created: Mon Jan 14 08:00 PM 2013 C
% Last Change: Mon Jan 14 08:00 PM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
\begin{minipage}{2.5cm}
\includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
\begin{center}
{\Huge \bfseries \center #1}
\vskip 1mm
\small \normalfont \sc
\author{}\\
\date{}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{
}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
}
\pagestyle{empty}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\def\sectionwidth{10cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{15 stycznia 2012}
\begin{document}
\section{Okazja!\\\large Rozwiąż, ile zdołasz za jedyne $60min$.}
\begin{problem}
\begin{enumerate}
\item Wyznacz wszystkie takie funkcje $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, że
\[f(y)f(x) - xy = f(x) + f(y) - 1\]
dla wszystkich $x, y$ rzeczywistych.
\item Znajdź wszystkie funkcje $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
spełniające dla każdych $x, y\in \mathbb{R}$ równanie
\[
f(x + y) = f(f(x)) + y + 1.
\]
\end{enumerate}
\end{problem}
\begin{problem}
W~pięciokącie wypukłym $ABCDE$ wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary.
Wykaż, że symetralna odcinka $EA$, symetralna odcinka $BC$ i~dwusieczna
kąta $CDE$ przecinają się w~jednym punkcie.
\end{problem}
\begin{problem}
Rozwiąż w~liczbach rzeczywistych $x, y, z$ układ równań
\[
\begin{cases}
x^2 - (y+z+yz)x + (y+z)yz = 0 &\\
y^2 - (z+x+zx)y + (z+x)zx = 0 &\\
z^2 - (x+y+xy)z + (x+y)xy = 0.
\end{cases}
\]
\end{problem}
\vspace{1cm}
\emph{Uwaga: propozycja na za tydzień to
\texttt{http://matma.ilo.pl/images/lemaciki6092011.pdf}, w~ramach
przypomnienia geo.}
\vspace{2cm}
\section{Okazja!\\\large Zadania doliczone.}
\begin{problem}
Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$, dla których
\[
n^n + 1\quad\hbox{oraz}\quad (2n)^{2n} + 1
\]
są liczbami pierwszymi.
\end{problem}
\begin{problem}
Czworokąt wypukły $ABCD$, w~którym $AB\neq CD$, jest wpisany w~okrąg.
Czworokąty $AKDL$ i~$CMBL$ są rombami o~bokach długości $a$. Dowieść, że
punkty $K, L, M, N$ leżą na jednym okręgu.
\end{problem}
\begin{problem}
Wielomian $P(x)$ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli
wielomiany $P(x), P(P(P(x)))$ mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to
mają także wspólny pierwiastek całkowity.
\end{problem}
\end{document}
|
