Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: uklady.tex
%     Created: Thu Jan 03 11:00 AM 2013 C
% Last Change: Thu Jan 03 11:00 AM 2013 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
    \begin{minipage}{1.5cm}
        \includegraphics[origin=c,width=1.5cm]{\headpicture}
    \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
        \begin{center}
            {\Huge \bfseries \center #1}
 
            \vskip 1mm
            \small \normalfont \sc
            \author{}\\
            \date{}
        \end{center}
    \end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\pagestyle{empty}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
\def\sectionwidth{6cm}
\def\headpicture{snake}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{3 stycznia 2013}
\begin{document}
\section{Układy...}
 
Większość z~poniższych układów da się rozwiązać szybko i~skutecznie za pomocą
nierówności. Nie zawsze tak jest; najlepiej na początku znaleźć dużo rozwiązań
układu, żeby się zorientować, jakie one są.
Ale jeżeli mamy mniej równań niż zmiennych, to nierówności prawie na pewno są
w~środku.
 
\begin{problem}
    Rozwiąż układ równań
    \[
    \begin{cases}
        (1+x)(1+x^2)(1+x^4) = 1 + y^7\\
        (1+y)(1+y^2)(1+y^4) = 1 + x^7
    \end{cases}
    \]
    w~liczbach nieujemnych $x, y$.
\end{problem}
 
\begin{problem}[Szwecja 1989]
    Rozwiąż w~liczbach dodatnich układ równań
    \[
    \begin{cases}
        x   + y^2 + z^3 = 3\\
        x^2 + y^3 + z   = 3\\
        x^3 + y   + z^2 = 3.
    \end{cases}
    \]
    \emph{Układ jest cykliczny!}
\end{problem}
 
\begin{problem}[Rosja 1992]
    Znajdź wszystkie pary liczb rzeczywistych $(x, y)$ spełniających równanie
    \[
    x^2 + (y-1)^2 + (x-y)^2 = \frac{1}{3}.
    \]
\end{problem}
 
\begin{problem}[Rosja 1992]
    Znajdź wszystkie pary liczb rzeczywistych $x, y$ spełniających równanie
    \[
    y^4 + 2x^4 + 1 = 4x^2y.
    \]
\end{problem}
 
\begin{problem}[Rosja 1992]
    Udowodnij, że równanie $x^2 + y^2 + z^2 = x^3 + y^3 + z^3$ ma
    nieskończenie wiele rozwiązań w~liczbach całkowitych $x, y, z$.
 
    \emph{Mamy znaleźć $\infty$ rozwiązań, a~nie rozwiązać równanie! Nie warto szukać
    wszystkich rozwiązań~--- trzeba znaleźć szczególne.}
\end{problem}
 
\end{document}