Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: ekstreme.tex
%     Created: Tue Nov 27 12:00 PM 2012 C
% Last Change: Tue Nov 27 12:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=24cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
    \begin{minipage}{2.5cm}
        \includegraphics[origin=c,width=2.5cm]{\headpicture}
    \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
        \begin{center}
            {\Huge \bfseries \center #1}
 
            \vskip 1mm
            \small \normalfont \sc
            \author{}\\
            \date{}
        \end{center}
    \end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie \theproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\pagestyle{empty}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
\def\sectionwidth{8cm}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{27 listopada 2012}
\begin{document}
\section{Největší prvek\\\hspace{1em}{\large czyli największy element {\tiny chyba:)}}}
 
W~wielu zadaniach, zwłaszcza gdy mamy wiele lub nieskończenie wiele
elementów, warto patrzeć na szczególne elementy: największą/najmniejszą
liczbę, największe pole/obwód itd. Zrozumieć powyższy bełkot można tylko
robiąc zadania.
 
\begin{problem}
    W~każde pole nieskończonej szachownicy wpisano liczbę całkowitą dodatnią,
    przy czym każda liczba jest średnią arytmetyczną liczb na polach
    sąsiadujących bokiem z~jej polem. Udowodnij, że wszystkie liczby są równe.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Przemek rzucił na stół swoją wygraną w~Drużynowym Konkursie
    Programistycznym, która składała się z~garści monet o~parami różnych
    nominałach. Żadna z~monet nie upadła na inną.
    \begin{enumerate}
        \item Udowodnij, że pewna moneta była styczna do co najwyżej pięciu
            innych.
        \item Ile maksymalnie wynosiłaby wygrana Przemka, jeżeli byłaby ona
            wydana w~złotówkach :)?
    \end{enumerate}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Kozik nudząc się zapisał (w~systemie dziesiętnym) kolejne liczby od $1$ do $n$ na rolce papieru
    toaletowego. Jacek przyszedłszy powiedział, że napis był palindromem. Dla
    których $n$ było to możliwe?
\end{problem}
 
\begin{problem}[trzeba coś zgadnąć]
    Na szachownicy rozmiaru $n \times n$ zapisano w~pewnym porządku liczby od $1$ do $n^2$.
    Niech $K$ oznacza największą spośród różnic pomiędzy elementami
    sąsiadującymi (bokiem lub po przekątnej). Oszacuj z~dołu, w~zależności od $n$,
    liczbę $K$. Podaj przykład, że oszacowanie jest dokładne.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Zbiór $I \subseteq \mathbb{Z}$ spełnia następujące warunki
    \begin{enumerate}
        \item Jeżeli $a, b\in I$ to $a + b\in I$ oraz $a-b \in I$.
        \item Jeżeli $a\in I$ oraz $r\in \mathbb{Z}$ to $ra\in I$.
    \end{enumerate}
    Sprawdź, że zbiory wielokrotności liczby naturalnej $s$ spełniają te
    warunki.
    Uzasadnij, że zbiór $I$ spełniający te warunki jest zbiorem wielokrotności pewnej liczby naturalnej.
 
    \emph{Podzbiory $I$ o~ww. własnościach nazywa się ideałami. Można rozważać
    dla nich kongruencje $\mod I$ zdefiniowane przez $a \equiv b\mod I \iff a-b\in I$. Zwykłe kongruencje $\mod n$ to dokładnie
    kongruencje $\mod \mathbb{Z}n$, gdzie $\mathbb{Z}n$ to zbiór liczb
    podzielnych przez $n$, to zadanie mówi, że nie ma innych w~$\mathbb{Z}$.}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Korzystając z~poprzedniego zadania udowodnij, że największy wspólny
    dzielnik $D$ liczb $a_1,\dots,a_n$ można zapisać jako $D = c_1a_1 + \dots
    + c_na_n$, gdzie $c_1,\dots, c_n$ są liczbami całkowitymi.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $m, n$ będą takimi liczbami całkowitymi, że w~zbiorze $\{1, 2,
    \dots, n\}$ znajduje się dokładnie $m$ liczb pierwszych. Dowieść, że wśród
    dowolnych $m+1$ liczb z~tego zbioru można znaleźć taką, która jest
    dzielnikiem iloczynu pozostałych $m$ liczb.
\end{problem}
 
\end{document}