Koło matematyczne I LO w Białymstoku

Bonus za odgadnięcie, czego przeróbką jest nagłówek :) J.

Do domu: zadania P6, P7, P5 (trudniejsze?) i T3.

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Fri Nov 16 06:00 PM 2012 C
% Last Change: Fri Nov 16 06:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt, a4paper]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[textwidth=16cm, textheight=26.5cm]{geometry}
 
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate{itemsep=2pt,topsep=2pt,parsep=0pt,partopsep=0pt}
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
 
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.2mm}}
\renewcommand{\section}[1]{
%\vspace*{-1.5cm}
\stepcounter{section}%
\begin{center}%
    \begin{minipage}{6cm}
        \includegraphics[origin=c,height=6cm]{\headpicture}
    \end{minipage}\begin{minipage}{\sectionwidth}
        \begin{center}
            {\Huge \bfseries \center #1}
 
            \vskip 1mm
            \small \normalfont \sc
            \author{}\\
            \date{}
        \end{center}
    \end{minipage}
\end{center}
\HRule
}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{
 
}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie P\theproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\newcounter{testproblem}
\newenvironment{testproblem}[1][]{
\stepcounter{testproblem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie H\thetestproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\newcounter{domproblem}
\newenvironment{domproblem}[1][]{
\stepcounter{domproblem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{{\bfseries Zadanie T\thedomproblem{}} #1}}\\}
{
 
}
 
\pagestyle{empty}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
 
\def\sectionwidth{8cm}
\def\headpicture{dont-just-read-it.png}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{20 listopada 2012}
\DeclareMathOperator{\sgn}{\mathbf{sgn}}
\begin{document}
\section{Niezmienniki II\\[0.2cm]{\small\normalfont\it[...] He uses math to find the answer\\The
secret geometry of change\\The hidden law, an invisible constraint\\Proving he
cannot rearrange.}}
 
\subsection*{Pierwsza linia\\\small (hastati)}
 
\begin{testproblem}
    Na tablicy zapisane są liczby $1, 2, 3, \dots, 2010$. Wybieramy dowolne
    dwie liczby $a, b$, ścieramy je i~wpisujemy $|a - b|$.
%    nieprzestannie to czyniąc, aliż jedna tylko nie pozostanie.
    Uzasadnij, że
    liczba, która pozostanie na końcu będzie nieparzysta.
\end{testproblem}
 
\begin{testproblem}[matma.ilo.pl]
    Wokół okrągłego stołu siedzi $14$ ufoli. Początkowo jeden z~ufoli ma
    $14$ czarnych dziur. W~jednym ruchu każdy ufol, który posiada co najmniej
    dwie czarne dziury, może wziąć dwie ze swoich czarnych dziur i~podarować po
    jednej czarnej dziurze każdemu ufolowi siedzącemu obok. Powiedz ufolom,
    czy może dojść do sytuacji, gdy po pewnej liczbie ruchów każdy ufol ma po
    jednej czarnej dziurze.
\end{testproblem}
 
\subsection*{Druga linia\\\small(principes)}
 
\begin{problem}
    Sto dwadzieścia siedem osób uczestniczy w~turnieju tenisowym. Udowodnij,
    że w~dowolnym momencie trwania tego turnieju graczy, którzy rozegrali
    nieparzyście wiele gier jest parzyście wiele.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Liczba $n$ jest całkowita. Liczby $1, 2, \dots, 2n$ są ustawione
    (w~losowym porządku) w~tablicy indeksowanej liczbami od
    $1$ do $2n$. Do każdej liczby dodajemy jej indeks, po czym zamieniamy ją
    na jej resztę z~dzielenia przez $2n$.
    Czy niezależnie od ustawienia uzyskamy dwie równe
    liczby?
 
    \emph{Uwaga dla ekpertów: tak, używamy Pascala.}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Na obwodzie koła zapisano $2011$ jedynek i~$2012$ zer. W~jednym kroku
    wpisujemy $0$ pomiędzy dwoma kolejnymi i~równymi liczbami oraz $1$
    pomiędzy dwoma kolejnymi i~nierównymi liczbami, po czym ścieramy stare
    liczby. Czy możemy, powtarzając tę operację, uzyskać konfigurację złożoną
    z~samych zer?
\end{problem}
 
\begin{problem}
    W~każde pole prostokątnej tablicy wpisano liczbę całkowitą dodatnią.
    W~jednym kroku możemy odjąć jeden od każdej liczby w~wybranej kolumnie lub
    podwoić liczby w~wybranym rzędzie. Czy możemy, wykonując skończenie wiele
    kroków, uzyskać tablicę złożoną z~samych zer?
\end{problem}
 
\begin{problem}[$\sgn$]
    Liczby całkowite $2, 2^2, 2^3, \dots, 2^{2012}$ są ustawione w~pewnym porządku.
    Karolina w~jednym ruchu zamienia miejscami wybrane dwie kolejne liczby.
    Łącznie wykonuje ona $n$ ruchów, przy czym po ostatnim z~nich porządek liczb jest zachowany.
 
    Stwierdź, dla których $n$ jest to możliwe.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Smok ma $100$ (liczba uświęcona tradycją) głów. W~jednym ruchu rycerz może
    obciąć dokładnie $15, 17, 20$ lub $5$ głów, a~smokowi odrasta $24, 2, 14$
    lub $17$ głów odpowiednio. Smok ginie, jeżeli wszystkie jego głowy
    zostają ścięte. Rycerz ginie, jeżeli smokowi znudzi się zabawa w~ścinanie
    głów. Czy smok może zginąć?
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Na tablicy napisanych jest $n$ liczb $1$. W~każdym kroku wybieramy
    i~wycieramy liczby $a, b$ i~wpisujemy liczbę $(a + b)/4$.
    \begin{enumerate}
        \item Uzasadnij, że suma odwrotności liczb nie zwiększa się w~danym kroku.
        \item Udowodnij, że po $n-1$ krokach pozostanie liczba równa co
            najmniej $1/n$.
    \end{enumerate}
\end{problem}
 
\subsection*{Nadchodzące kółko\\\small(triarii)}
 
\begin{domproblem}[Przypomnienie]
    Na płaszczyźnie wybrano skończenie wiele punktów tak, że pole dowolnego
    trójkąta o~wierzchołkach w~wybranych punktach jest nie większe niż $1$.
    Uzasadnij, że wszystkie punkty leżą pewnym w~trójkącie o~boku $2$ (być
    może na obwodzie).
 
    \emph{Wskazówka: należało rozważyć trójkąt o~największym polu.}
\end{domproblem}
 
\begin{domproblem}
    \def\B{\mathcal{A}}
    \def\W{\mathcal{B}}
    Niech $\B, \W$ będą takimi \underline{skończonymi} zbiorami punktów na płaszczyźnie, że każdy
    odcinek o~końcach w~$\B$ zawiera punkt z~$\W$ i~każdy odcinek o~końcach
    $\W$ zawiera punkt z~$\B$. Udowodnić, że wszystkie punkty z~$\B \cup \W$ leżą na jednej
    prostej.
 
    \emph{Wskazówka: gdyby nie, powstałyby trójkąty. Wybierz szczególny :)}
\end{domproblem}
 
\begin{domproblem}
    Sala, w~której odbywają się zawody Podlaskiego Konkursu Matematycznego ma
    dwie połowy (i~dużo zdezelowanych pulpitów).
 
    Każdy z~uczestników konkursu ma co najwyżej trzech znajomych
    wśród pozostałych uczestników. Wykazać, że uczestników konkursu można
    rozmieścić w~sali tak, aby każda osoba miała z~``swojej'' połowie co
    najwyżej jednego znajomego.
 
    \emph{Wskazówka: jak można ``poprawić'' ustawienie? Jeżeli już to wiesz,
    wybierz ``najlepsze'' i~udowodnij, że jest dobrze! Jeżeli zrobiłeś to
    zadanie, zastanów się, które z~zadań z~poprzedniego kółka stosuje
    praktycznie ten sam trik, zupełnie inaczej wyglądając.}
\end{domproblem}
 
\end{document}