|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zad.tex
% Created: Mon Sep 05 12:00 PM 2011 C
% Last Change: Mon Sep 05 12:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{../}{style.sty}
%\include{style}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{6 września 2011}
\begin{document}
\section{Lemaciki\\[-0.7cm]\small czyli za co kochamy geometrię.}
Wszystkich poniższych lematów dowodzi się za pomocą elementarnych narzędzi
takich jak przystawanie, czy kąty wpisane. Tym niemniej warto o~nich pamiętać
i~przypomnieć sobie przed 2. etapem.
\begin{problem}[Lemat]
W dowolnym trójkącie $ \triangle ABC$ nierówność $AB\geq BC $ jest
równoważna $ \angle ACB \geq \angle BAC$.
\end{problem}
\begin{problem}[Lemat]
Niech $M$ będzie środkiem boku $BC$ trójkąta $ \triangle ABC$. Wtedy
\[2\cdot AM < AB + AC.\]
\end{problem}
\begin{problem}[Lemat]
Niech $D, E, F$ będą spodkami wysokości opuszczonych odpowiednio z~wierzchołków $A, B,
C$ trójkąta ostrokątnego $ \triangle ABC$ oraz niech $H$ będzie
ortocentrum $ \triangle ABC$. Wtedy $H$ jest środkiem okręgu wpisanego
w~$ \triangle DEF$.
\end{problem}
\begin{problem}[Lemat]
Niech $H$ będzie ortocentrum w~trójkącie $ \triangle ABC$, a~$o$ będzie
okręgiem opisanym na $ \triangle ABC$. Wtedy odbicia $H$ względem boków
trójkąta $ \triangle ABC$ leżą na $o$.
\end{problem}
\begin{problem}[Lemat]
Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na $ \triangle ABC$, niech
$A_1, B_1, C_1$ będą środkami $BC, CA, AB$ odpowiednio. Udowodnij, że $O$
jest ortocentrum $ \triangle A_1B_1C_1$.
\end{problem}
\begin{problem}[Lemat]
Niech $o$ będzie okręgiem opisanym na trójkącie $ \triangle ABC$,
$I$ będzie środkiem okręgu wpisanego w~$ \triangle ABC$, a~$K$ będzie
punktem przecięcia dwusiecznej $\angle BAC$ z~$o$ (innym niż $A$).
Wówczas $\abs{IK} = \abs{BK} = \abs{CK}$,
w~szczególności $K$ leży na symetralnej $BC$.
\end{problem}
\begin{problem}[Lemat]
Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w~$ \triangle ABC$, a~punkty $K,
L, M$ są punktami przecięcia $AI, BI, CI$ odpowiednio z~okręgiem opisanym na $
\triangle ABC$ (różnymi od $A, B, C$). Dowiedź, że $I$ jest
ortocentrum $KLM$.
\end{problem}
\begin{problem}[Lemat]
Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w~trójkąt ostrokątny $\triangle ABC$, punkty $K,
L, M$ są punktami przecięcia $AI, BI, CI$ odpowiednio z~okręgiem opisanym na $
\triangle ABC$. Punkty $A', B', C'$ są punktami przecięcia odpowiednio:
$AK$ i~$ML$, $BL$ i~$MK$ oraz $CM$ i~$KL$. Dowiedź, że trójkąty $
\triangle ABC$ i~$ \triangle A'B'C'$ są jednokładne.
\end{problem}
\begin{problem}[Lemat]
Punkty $K, L, M$ są rzutami punktu $J$ odpowiednio na boki $BC, CA, AB$ trójkąta $ \triangle ABC$.
Oblicz, w~zależności od $\abs{AB},\abs{BC},\abs{CA}$, odległości punktu $K$ od $B$ i~$C$, punktu $L$ od $C$ i~$A$ oraz
punktu $M$ od $A$ i~$B$, jeżeli
\begin{enumerate}
\item $J$ jest środkiem okręgu wpisanego w~$ \triangle ABC$,
\item $J$ jest środkiem okręgu dopisanego do boku $BC$ trójkąta $
\triangle ABC$.
\end{enumerate}
\end{problem}
\end{document}
|
