Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: starsi.tex
%     Created: Sun Mar 25 10:00 PM 2012 C
% Last Change: Sun Mar 25 10:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{./}{style.sty}
\def\sectionwidth{9cm}
%\include{style}
 
\def\headpicture{./default.png}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{26 marca 2012}
\begin{document}
\section{Vivat! Komb. finałowe}
 
\begin{problem}
    Znaleźć wszystkie liczby całkowite $n\geq 1$ o~następującej własności:
    istnieje taka permutacja $(a_1,\dots,a_{n})$ ciągu $(1,2,\dots,n)$, że dla
    $k=1,2,\dots,n$ suma $a_1 + a_2 + \dots + a_k$ jest podzielna przez $k$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Okrąg wpisany w~trójkąt $ABC$ jest styczny do boków $BC, CA, AB$
    odpowiednio w~punktach $D, E, F$. Prowadzimy trzy proste: przez środki
    odcinków $AE$ i~$AF$, przez środki odcinków $BF$ i~$BD$ oraz przez środki
    odcinków $CD$ i~$CE$. Wykazać, że środek okręgu opisanego na trójkącie
    wyznaczonym przez te trzy proste pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego
    na trójkącie $ \triangle ABC$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Wyznaczyć wszystkie takie pary funkcji $f, g$ określonych na zbiorze liczb
    rzeczywistych i~przyjmujących wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb
    rzeczywistych $x, y$ prawdziwa jest równość
    \[
    f(x)f(y) = g(x)g(y) + g(x) + g(y)
    \]
\end{problem}
 
\end{document}