Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zadania.tex
%     Created: Sun Feb 12 08:00 PM 2012 C
% Last Change: Sun Feb 12 08:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 26cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{13 lutego 2012}
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-0.5in}
\section{Pograjmy}
 
Rozważamy gry dwuosobowe; gracze wykonują ruchy na przemian, nie ma remisów,
gra na pewno kończy się po $N$ ruchach.
 
Zauważmy, że
\begin{enumerate}
    \item każda pozycja jest \emph{wygrywająca} (tzn. przy  optymalnej
        grze wygrywa zaczynający) lub \emph{przegrywająca} (tzn. przy
        optymalnej grze drugiego gracza zaczynający przegrywa),
    \item pozycja początkowa jest wygrywająca lub przegrywająca, więc któryś
        z~graczy ma strategię wygrywającą.
 
        Przykład: w~grze w~Go, w~Hexa, w~``cztery w~rzędzie'' istnieje
        strategia wygrywająca dla któregoś z~graczy. Szokujące?
    \item czasami da się pokazać, że pozycja wyjściowa jest wygrywająca
        pokazując \emph{że nie jest ona przegrywająca}. Wtedy nie wskazuje się
        strategii wygrywającej.
    \item NIGDY nie należy zakładać, że przeciwnie będzie grać jakąś
        \emph{rozsądną} strategią. Każdy chyba wie o~tym :)
\end{enumerate}
 
\subsection{Strategie nie do wskazania.}
 
\begin{problem}
    Na tablicy napisane są liczby $1, 2, \dots, n$. Prokariot i~eukariot
    wykonują ruchy naprzemiennie. W~jednym ruchu gracz wykreśla pewną liczbę
    oraz wszystkie jej dzielniki. Wygrywa ten gracz, który wykreśli wszystkie
    liczby. Zaczyna prokariot. Powiedz, dla jakich $n$
    eukariot może wygrać?
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Na okrągłym stole Antek i~Mateusz kładą kolejno monety jednogroszowe tak,
    by nie zachodziły one ma siebie. Przegrywa gracz, który nie może położyć
    monety. Zaczyna Antek; udowodnij, że może wygrać niezależnie od ruchów
    Mateusza.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Czekolada ma wymiary $n \times m$ kostek i~ustalamy jeden z~jej
    wierzchołków zwany $A$. Ruch w~grze w~czekoladę polega na
    wybraniu punktu $B$ i~odłamaniu ``prostokąta'' o~przekątnej $AB$, którego boki
    są równoległe do boków czekolady (część kostek mogła być wcześniej
    odłamana, ale prostokąt musi mieć co najmniej jedną kostkę i~jego boki
    muszą biec wzdłuż linii podziału kostek).
 
    Przegrywa gracz, który musi zabrać całą resztę czekolady. Uzasadnić, że
    gracz zaczynający ma strategię wygrywającą.
\end{problem}
 
\subsection{I~do wskazania}
 
\begin{problem}
    Seba i~Hubi grają w~nastepującą grę na podarowanej im przez Jogiego
    tabliczce czekolady. Każdy ruch polega w~grze polega na przełamaniu
    jednego z~wcześniej otrzymanych kawałków czekolady wzdłuż linii podziału
    kostek. Wygrywa ten, kto pierwszy odłamie pojedyńczą kostkę. Jeżeli
    czekolada ma wymiary $8\times 15$ kostek, a~zaczyna Hubi, to kto wygra?
\end{problem}
 
\begin{problem}
Darek i~Paweł grają w~następującą grę. Na początku na tablicy napisana jest
liczba całkowita dodatnia $n$. W~jednym ruchu gracz odejmuje od napisanej
w~danym momencie na tablicy liczby jej dzielnik będący jedynką, liczbą
pierwszą,
lub iloczynem dwóch (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych i~wynikiem
odejmowania zastępuje wcześniejszą liczbę. Pierwszy ruch wykonuje Darek,
a~następnie gracze wykonują ruchy na przemian. Wygrywa gracz, który napisze na
tablicy liczbę $0$. Rozstrzygnąć, dla jakich liczb $n$ Darek może zapewnić
sobie wygraną, niezależnie od ruchów Pawła.
\end{problem}
 
\end{document}