|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zadania_rozne.tex
% Created: Tue Feb 07 09:00 PM 2012 C
% Last Change: Tue Feb 07 09:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 26cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{\hfill\par}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{./}{style.sty}
%\include{style}
\def\headpicture{./zadanie2.pdf}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{8 lutego 2012}
\def\source#1{\emph{Źródło: #1}}
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-0.5in}
\section{\large Mikrokosmos w~kropli wody (czyli w~jednym rysunku)}
\subsection{Ostatki}
\begin{problem}
\emph{Seba, Ty wredoto, siedziałem nad tym trzy godziny!}
Niech $ \triangle ABC$ będzie trójkątem.
\begin{enumerate}
\item Niech $M$ będzie środkiem $BC$, niech okrąg wpisany w~$
\triangle ABC$ będzie styczny do $BC$ w~$D$, a~okrąg dopisany do boku $BC$ trójkąta $ \triangle
ABC$ będzie styczny do $BC$ w $D'$. Uzasadnij, że punkty $D, D'$
są symetryczne względem $M$.
\item W~dalszej części zadania zakładamy, że $CD = AB$. Niech $F$
będzie punktem styczności okręgu wpisanego w~$ \triangle ABC$ to
$AB$. Wykaż, że
$AD'\parallel DF$. Pokaż też, że $BF' \parallel EF$, gdzie $F'$
jest punktem styczności okręgu dopisanego do boku $AC$ trójkąta
$ABC$ z~$AC$.
\item Uzasadnij, że $K\in AE'$ i~$L\in BF'$, gdzie $K, L$ są
symetryczne do odpowiednio $D, E$ względem $I$.
\item Uzasadnij, że proste $AK$ i~$BL$ przecinają się w~punkcie $X$
symetrycznym do $F$ względem $I$.
\item Wykaż, że $KX\cdot AX = FX^2 = LX\cdot BX$ i~wywnioskuj, że
punkty $A, K, L, B$ leżą na jednym okręgu.
\emph{A~jeszcze dzisiaj myślałem, że ten warunek nie ma sensu
tutaj\dots}
\end{enumerate}
\emph{Całe zadanie można było zrobić też stosując metodę środka masy.}
\end{problem}
\subsection{Troszkę wzorków skróconego mnożenia}
\begin{problem}
Uzasadnij, że $a - b\big|W(a) - W(b)$, gdzie $W$ jest wielomianem
o~współczynnikach całkowitych, $a\neq b$ są liczbami całkowitymi.
\end{problem}
\begin{problem}
Niech $a, b\in \mathbb{Z}$.
Załóżmy, że~liczba pierwsza $p$ dzieli $a + b$, a~$n$ jest nieparzyste
i~niepodzielne przez $p$. Uzasadnij, że potęga $p$ dzieląca $a^n + b^n$
jest taka sama jak potęga $p$ dzieląca $a + b$. Czy byłoby to prawdą bez
założenia, że $n$ jest nieparzyste? A~bez założenia, że jest niepodzielne
przez $p$?
\end{problem}
\begin{problem}
Uzasadnij, że jeśli $p > 20$ jest pierwsza, to $13\big|2^p + 11^p$, ale
$13^2 \not\big| 2^p + 11^p$
\end{problem}
\begin{problem}
Liczba $2^k + 1$ jest pierwsza ($k\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$). Uzasadnij, że
$k = 2^l$, gdzie $l$ jest całkowite.
\end{problem}
\begin{problem} Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $n$, dla których
$$n^n + 1 \hbox{ oraz } (2n)^{2n} + 1$$
są liczbami pierwszymi.
\source{LVI OM}\end{problem}
\begin{problem} Niech $q$ będzie liczbą parzystą dodatnią. Dowieść, że dla każdej
liczby naturalnej $n$ liczba
$$q^{(q+1)^n} + 1$$
dzieli się przez $(q+1)^{n+1}$ ale nie dzieli się przez $(q+1)^{n+2}$.
\source{XXXIII OM, via artykuł H. Pawłowskiego}\end{problem}
\begin{problem}
Uzasadnij, że jeżeli funkcje $f, g:\mathbb{Z}^{2011} \to
\mathbb{Z}^{2011}$
spełniają $f(g(x)) = g(f(x))$ dla każdego $x$ oraz $f(a - b) =
f(a) - f(b), g(a - b) = g(a) - g(b)$ dla każdych $a, b\in
\mathbb{Z}^{2011}$, to
\[f^{(n)}(x) - g^{(n)}(x)
= h(f(x) - g(x))\] dla każdego $x\in \mathbb{Z}, n\in
\mathbb{Z}_{>0}$, gdzie $h: \mathbb{Z}\to
\mathbb{Z}$ jest pewną funkcją, a~$f^{(n)}$ oznacza $n$-krotne
złożenie $f$.
\end{problem}
\begin{problem}
Różne wielomiany $P, Q$ o~współczynnikach rzeczywistych spełniają
warunek $P(Q(x)) = Q(P(x))$ dla każdego $x$.
Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ wielomian $P^{(n)}(x)
- Q^{(n)}(x)$ jest podzielny przez $P(x) - Q(x)$.
\emph{Uwaga: wielomian $F$ jest podzielny przez $G$, jeżeli
istnieje $H$ taki, że $F(x) = G(x)\cdot H(x)$ dla każdego $x$.
Oznaczenie $P^{(n)}$ oznacza $n$-krotne złożenie wielomianu $P$.}
\end{problem}
\end{document}
|
