|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: starsi.tex
% Created: Sun Feb 05 08:00 PM 2012 C
% Last Change: Sun Feb 05 08:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{example}[thm]{Przykład}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{\hfill\par}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{10cm}
%\include{style}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko I~LO Białystok}
\def\date{6 lutego 2012}
\begin{document}
\section{\Large Dlaczego reszty $\mod p$ są fajne?\\Krótkie przypomnienie
teorii liczb}
\subsection{Ogólnorozwojowa teoria}
Oznaczmy przez $\mathbb{Z}_n$ zbiór reszt $\mod n$, który można uznawać za $\{0, 1, 2, \dots, n-1\}$.
Porównanie $\mathbb{Q}$ i~$\mathbb{Z}_p$, gdzie jest $p$ pierwsza.
Poniżej $x, y \in \mathbb{Q}, a, b\in \mathbb{Z}$.
\begin{tabular}[<+position+>]{| p{7cm} | p{7cm} |}
\hline
$\mathbb{Q}$ & $\mathbb{Z}_p$\\
\hline
&\\
jeżeli $x\cdot y = 0$, to $x = 0$ lub $y = 0$ & jeżeli $a\cdot b\equiv 0 \mod p$
to $a \equiv 0\mod p$ lub $b \equiv 0 \mod p$\\
&\\
jeżeli $x\neq 0$, to istnieje $x^{-1}\in \mathbb{Q}$ takie, że $x\cdot
x^{-1} =1$ &
jeżeli $a \not\equiv 0\mod p$, to istnieje $b\in \mathbb{Z}$ takie, że
$a\cdot b \equiv1 \mod p$. Możemy to $b$ oznaczać ``$a^{-1} \mod p$''\\
&\\
$x^{-1} + y^{-1} = (x + y)\cdot (xy)^{-1}$ i~ogólnie wszystkie
działania zachowują się tak, jak wiemy &
$a^{-1} + b^{-1} \equiv (a+b)\cdot (ab)^{-1} \mod p$ i~ogólnie wszystko
jest dobrze, tylko trzeba pamiętać, że nie istnieje nic takiego jak
$p^{-1} \mod p$ albo $(2p)^{-1} \mod p$.
\\
\hline
\end{tabular}
\begin{center}Dlaczego ten punkt widzenia opłaca się?\end{center}
\begin{example}
Udowodnij, że jeżeli $p$ jest pierwsza, a~$a\in \mathbb{Z}$ niepodzielna
przez $p$, to $\{a\cdot 0, a\cdot 1, \dots,
a\cdot (p-1)\}$ dają różne reszty z~dzielenia przez $p$.
\end{example}
\begin{sol}
\begin{minipage}[<+tb+>]{7.5cm}
Wiemy, że $a\not\equiv 0 \mod p$.
Rozważamy liczby $\{a\cdot 0, a\cdot 1, \dots, a\cdot (p-1)\}$. Chcemy
pokazać, że one dają różne reszty $\mod p$. Więc mnożymy je wszystkie
przez $a^{-1}\mod p$. Otrzymujemy liczby $\{0, 1, 2,\dots, p-1\}$ które dają różne reszty. A~więc i~oryginalne
liczby dawały różne reszty.
\end{minipage}\begin{minipage}[<+tb+>]{0.5cm}
$ $
\end{minipage}
\begin{minipage}[<+tb+>]{7.5cm}
\emph{To jest TYLKO intuicyjne porównanie!!}
Wiemy, że $a\neq 0$.
Rozważamy liczby $\{a\cdot 0, a\cdot 1, \dots, a\cdot (p-1)\}$. Chcemy
pokazać, że są one parami różne. Więc mnożymy je wszystkie
przez $a^{-1}$. Otrzymujemy liczby $\{0, 1,2,\dots, p-1\}$ które są różne. A~więc i~oryginalne
liczby były różne.
\end{minipage}
\end{sol}
\begin{problem}
Jeżeli $p>3$ jest liczbą pierwszą to $p\big| 2^{p-2} + 3^{p-2} +
6^{p-2} - 1$.
\emph{DLACZEGO jest potrzebne założenie $p > 3$?}
\end{problem}
\begin{problem}
Jeżeli $p > 5$ jest pierwsze, to $p\big|2^{p-2} + 5^{p-2} - 7\cdot
10^{p-2}$.
\end{problem}
\begin{problem}
Uzasadnij, że jeśli $p > 2$ jest pierwsze, to $p\big|2^{p-2} + (p-2)^{p-2}$.
Uzasadnij, że jeśli $p > 40$ jest pierwsze, to $p\big|2^{p-40} + (p-2)^{p-40}$.
\end{problem}
\subsection{Praktyka~--- nieskończone schodzenie lub minimalne rozwiązanie.}
\begin{problem} Znajdź wszystkie rozwiązania równania $8x^4+4y^4+2z^4=t^4$
w liczbach całkowitych nieujemnych.\end{problem}
\begin{problem} Znajdź wszystkie rozwiązania równania
$x^2+y^2+z^2+u^2=2xyzu$ w liczbach $\mathbb{N}_+$.\end{problem}
\begin{problem} Udowodnij, że $7$ nie da się przedstawić w postaci sumy
trzech
kwadratów liczb wymiernych dodatnich.\end{problem}
\begin{problem} Udowodnij, że liczba postaci $4^n(8k-1)$, gdzie
$k,n\in\mathbb{N}_+$ nie może być przedstawiona jako suma 1, 2 lub 3 kwadratów liczb
naturalnych dodatnich.\end{problem}
\begin{problem}
Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich liczb całkowitych
$x_1,\cdots,x_{2011}, y_1,\cdots,y_{2011}$ iloczyn
\[
(2x_1^2 + 3y_{1}^2)\cdot (2x_2^2 + 3y_{2}^2)\cdot \cdots \cdot
(2x_{2011}^2
+ 3y_{2011}^2)
\]
nie jest kwadratem liczby całkowitej.
\end{problem}
\begin{problem} Ciąg $a_1,...,a_n$ ($a_i\in\mathbb{N}_+$) zamieniamy na
ciąg postaci
\[\frac{a_1+a_2}{2},\frac{a_2+a_3}{2},\cdots,\frac{a_{n-1}+a_n}{2},\frac{a_n+a_1}{2},\]
ten ciąg zmieniamy analogicznie itd. Udowodnij, że po pewnej
liczbie takich operacji albo otrzymany ciąg będzie stały, albo będzie
on zawierać wyrazy niecałkowite.\end{problem}
\end{document}
|
