Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: starsi.tex
%     Created: Sun Jan 08 06:00 PM 2012 C
% Last Change: Sun Jan 08 06:00 PM 2012 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{10cm}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{kółko ILO Białystok}
\def\date{10 stycznia 2012}
\begin{document}
\section{Trochę zadań z~finałów albo podobnych}
Nie mamy 5 godzin, stąd są wskazówki do zadań.
 
\begin{problem}
    W~trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego,
    odcinek $CD$ jest wysokością, punkt $E$ leży na boku $AB$, a~punkt $M$
    jest środkiem odcinka $CE$. Prosta prostopadła do prostej $OM$
    i~przechodząca przez punkt $M$ przecina proste $AC, BC$ odpowiednio
    w~punktach $K, L$. Dowieść, że
    \[
    \frac{LM}{MK} = \frac{AD}{DB}.
    \]
    \emph{Wskazówka: popatrz na prostą równoległą do $AB$ i~przechodzącą
    przez $M$ i~na jej punkty przecięcia z~bokami trójkąta, rozważ to jako
    szczególny przypadek.}
 
    \emph{Źródło: 58 OM, etap 3, zadanie 1.}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    W~każdy kwadrat nieskończonej (we wszystkich kierunkach) szachownicy
    należy wpisać liczbę całkowitą dodatnią tak, aby każda wpisana liczba
    wystąpiła raz i~była średnią arytmetyczną liczb sąsiadujących z~nią
    bokiem. Czy jest to możliwe?
 
    \emph{Źródło: prawie 58 OM, etap 3, zadanie 3.}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Rozwiązać w~liczbach rzeczywistych $a, b, c, d, e$ układ równań
    \[
    \begin{cases}
        a^2 = b^3 + c^3\\
        b^2 = c^3 + d^3\\
        c^2 = d^3 + e^3\\
        d^2 = e^3 + a^3\\
        e^2 = a^3 + b^3.
    \end{cases}
    \]
    \emph{Wskazówka: rozważ liczbę największą (układ jest cykliczny, można
    założyć, że to np. $b$ i~udowodnij, że liczba $d$ jest jej równa.}
 
    \emph{Źródło: prawie 57 OM, etap 3, zadanie 1.}
\end{problem}
 
\end{document}