Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: zad.tex
%     Created: Tue Dec 20 10:00 AM 2011 C
% Last Change: Tue Dec 20 10:00 AM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 26cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{11cm}
%\include{style}
 
\def\headpicture{bezwzgledna.jpg}
\def\author{Zadania głównie z~kółka V LO w~Krakowie; dziękuję!}
\def\date{20 grudnia 2011}
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-0.5in}
\section{Walcz z~układem! (równań)}
 
\paragraph{Teoria}
\begin{enumerate}
    \item Układ równań to po prostu ``równanie funkcyjne'' spełnione
        dla konkretnych liczb. \textbf{Nie możemy podstawiać dowolnych liczb},
        ale \textbf{możemy i~musimy przekształcać: mnożyć równania przez coś,
        dodawać i~odejmować je od siebie itp.} Zwykle układy mają pewną
        symetrię, która pozwala rozwiązać je sensownie.
 
        Jak przy funkcyjnych~--- bardzo pomaga wcześniejsze zgadnięcie chociaż
        jednego rozwiązania.
    \item Układ może być \emph{cykliczny} tzn. nie zmieniać się przy
        przesunięciu cyklicznym zmiennych; wtedy można założyć, że któraś ze
        zmiennych jest największa/najmniejsza lub \textbf{ma
        największą/najmniejszą wartość bezwzględną}.
    \item Układ może być symetryczny np.
        \[
        \left\{\begin{array}{l}
            x^2 + y^2 + z^2 = 2(xy + yz + zx)\\
            x^3 + y^3 + z^3 = 0
        \end{array}\right.
        \]
        wtedy, jeżeli chcemy pałować, warto podzielić przez jedną ze zmiennych
        i~zmienić zmienne na ilorazy (poniżej $\alpha = x/z, \beta = y/z$).
        \[
        \left\{\begin{array}{l}
            \alpha^2 + \beta^2 + 1 = 2(\alpha\beta + \beta + \alpha)\\
            \alpha^3 + \beta^3 + 1 = 0
        \end{array}\right.
        \]
        tutaj widać, że nie opłaca się pałować.
    \item \textbf{Trzeba uważać na dzielenie przez $0$!}
    \item Bardzo często \textbf{trzeba dużo liczyć} i~to dokładnie~--- jeżeli jest 8 przypadków do
        rozważenia, to trzeba rozważyć je jeden po drugim i~to szybko (choć
        \textbf{zawsze można chwilkę pomyśleć czy nie da się prościej. Ale
        chwilkę!}).
    \item W~całkowitych rozwiązuje się metodami teorii liczb!
\end{enumerate}
 
\begin{problem}
    Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste $x, y, z$, takie, że
    \[
    \begin{cases}
        x^2 +y^2 + z = 2\\
        y^2 + z^2 +x = 2\\
        z^2 + x^2 + y = 2.
    \end{cases}
    \]
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Rozwiąż układ równań w~liczbach rzeczywistych $a, b, c$:
    \[
    \begin{cases}
        a^3 + 3ab^2 + 3ac^2 - 6abc = 1\\
        b^3 + 3bc^2 + 3ba^2 - 6abc = 1\\
        c^3 + 3ca^2 + 3cb^2 - 6abc = 1.
    \end{cases}
    \]
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Rozwiąż w~liczbach rzeczywistych $x, y, z$ układ równań
    \[
    \begin{cases}
        x^2 - (y+z+yz)x + (y+z)yz = 0\\
        y^2 - (z+x+xz)y + (x+z)xz = 0\\
        z^2 - (x+y+xy)z + (x+y)xy = 0.
    \end{cases}
    \]
    \emph{Źródło: OM.}
\end{problem}
 
\subsection{``Półniezmienniki''}
Częste, choć na razie nie na II etapie OM, są układy postaci $y = f(x), z =
f(y), x = f(z)$, gdzie $f$ jest pewną funkcją. Zwykle podstawianie niewiele tu
daje. Trzeba zgadnąć rozwiązania i~pokazać pewną własność $f$, która sprawia,
że innych nie ma. Tutaj zwykle b. ważne są nierówności i~wartość bezwzględna.
 
\begin{problem}
    Znajdź wszystkie czwórki liczb rzeczywistych dodatnich $a, b, c, d$ spełniające układ równań
    \[
    \begin{cases}
        a = 2b^2 - 1\\
        b = 2c^2 - 1\\
        c = 2d^2 - 1\\
        d = 2a^2 - 1.
    \end{cases}
    \]
    \emph{Wskazówka: Połóż $f(x) = 2x^2 - 1$. \textbf{Narysuj wykres!} Porównaj $|f(x)|$ i~$|x|$
    w~zależności od $x$.}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Liczby $x_1,\dots,x_{2011}$ są rzeczywiste dodatnie i~spełniają układ
    równań
    \[
    \begin{cases}
        x_1^{x_2} = x_3\\
        x_2^{x_3} = x_4\\
        \dots\\
        x_{2011}^{x_1} = x_2.
    \end{cases}
    \]
    Wyznacz te liczby.
\end{problem}
 
\end{document}