Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zaddom.tex
%     Created: Sat Dec 10 11:00 AM 2011 C
% Last Change: Sat Dec 10 11:00 AM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\setcounter{problem}{1}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{na 20 grudnia 2011}
\begin{document}
\section{Pisemne II}
{\it Podobnież 20 jeszcze jest normalnie i~kółko może być.
 
Zadanie jest znane, proszę: nie korzystajcie z~rozwiązania z~internetu.
Gdybyście mimo wskazówek mieli problemy z~rozwiązaniem napiszcie~--- dam
jakieś dodatkowe podpowiedzi. Do osób z~kółka: niestety musicie udowodnić
wszystko, co było powiedziane na kółku a~nie jest dostępne w~jakichś źródłach.}
 
\begin{problem}
    Niech $c$ będzie ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Ciąg $(a_n)$ jest
    określony przez warunki
    \[
    a_{1} = 1,\ a_{n+1} = d(a_n) + c\hbox{ dla } n = 1,2,\dots .
    \]
    gdzie $d(m)$ oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby $m$. Wykazać, że
    istnieje taka liczba całkowita dodatnia $k$, że ciąg $a_k,a_{k+1},\dots .$
    jest okresowy.
\end{problem}
 
\begin{sol}
    \begin{itemize}
        \item Uzasadnij, że $d(n) \leq n/2$ jeżeli $n$ dostatecznie
            duże.
            \begin{itemize}
                \item wzór $d(n) = \prod (a_i + 1)$,
                \item $p^a \geq a+1$ gdzie $p\geq 2$,
                \item $p^a < 2(a+1)$ tylko dla skończenie wielu $p\geq 2$
                    i~$a\geq 0$.
            \end{itemize}
        \item Dla dostatecznie dużego $n$ zachodzi $d(n) + c < n \implies a_n$ jest ograniczony.
    \end{itemize}
\end{sol}
 
 
\end{document}