Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: skrypcik.tex
%     Created: Sun Dec 11 11:00 PM 2011 C
% Last Change: Sun Dec 11 11:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 26cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{8cm}
%\include{style}
 
\def\headpicture{stala.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{12 grudnia 2011}
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}
\section{TL~--- powtórka I}
 
\subsection{Zadania tylko na dodawanie lub tylko na mnożenie}
\emph{Dodawanie lub~mnożenie, osobno, tworzą zadania raczej z~kombinatoryki
niż TL.}
\begin{problem}
    Uzasadnić, że zbioru liczb $\{N, N+1,N+2,\dots\}$ nie da się podzielić na
    dwa podzbiory spełniające warunek:
    \begin{center}
        dla dowolnych, być może równych, elementów $a, b, c$ \textbf{nie} zachodzi $a + b = c$.
    \end{center}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Przypomnij dowód, że jeśli $NWD(a, b) = 1$ i~$ab = c^n$ (wszystkie liczby
    całkowite dodatnie), to istnieją $t, u$ takie, że $a = t^n, b = u^n$.
    Czy ten dowód jest prawdziwy bez założenia, że $a, b > 0$? A~czy byłby on
    prawdziwy, gdyby rozważyć sytuację z~trzema liczbami $a, b, c$, takimi, że
    $NWD(a, b, c) = 1$ i~$abc = d^n$?
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Podaj przykład $12122011$-elementowego zbioru liczb całkowitych dodatnich $S$, takiego, że iloczyn
    dowolnego niepustego podzbioru zbioru $S$ nie jest sześcianem liczby całkowitej.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Znajdź najmniejszą liczbę $N$ taką, że
    \begin{center}
        dla każdego zbioru $N$-elementowego $S$,
        którego elementami są liczby całkowite dodatnie o~dzielnikach pierwszych
        ze zbioru $p_1,p_2,\dots,p_{2011}$, istnieje podzbiór $S$ taki, że
        jego iloczyn jest sześcianem liczby całkowitej.
    \end{center}
\end{problem}
 
\subsection{Suma lub liczba dzielników}
\begin{problem}
    \begin{enumerate}
        \item \vskip -0.5cm przypomnij (wywnioskuj z~postaci ciągowej) i~udowodnij wzór na
            ilość $d(n)$ dzielników naturalnych (i~całkowitych) liczby naturalnej $n$, w~zależności od rozkładu
            na czynniki pierwsze,
        \item zrób to samo dla $s(n)$~--- sumy dzielników,
        \item i~dla sumy $2011$ potęg dzielników.
    \end{enumerate}\vskip -0.5cm
\end{problem}
\emph{Przygotowania do zadania 8.}
 
\begin{problem}
    Udowodnij, że $d(n) \leq n/2$ dla $n > N_0$ (wskaż $N_0$). Pokaż, że dla
    $s(n)$ taka nierówność nie zachodzi.\\$\star$ Użyj podobnego rozumowania do pokazania, że $d(n) \leq n/2011$
    dla $n > N_0$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $f:\mathbb{Z}_{>0}\to \mathbb{Z}_{>0}$ będzie dowolną funkcją, a~$M$
    dowolną liczbą naturalną. Udowodnij, że ciąg
    \[
    a_1 = 1,\ a_{n+1} = f(a_n) \mod M,\ \hbox{ dla } n=1,2,\dots .
    \]
    jest od pewnego miejsca okresowy.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Niech $c$ będzie ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Ciąg $(a_n)$ jest
    określony przez warunki
    \[
    a_{1} = 1,\ a_{n+1} = d(a_n) + c\hbox{ dla } n = 1,2,\dots .
    \]
    gdzie $d(m)$ oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby $m$. Wykazać, że
    istnieje taka liczba całkowita dodatnia $k$, że ciąg $a_k,a_{k+1},\dots .$
    jest okresowy.
    \emph{Źródlo: 57 OM, etap drugi}
\end{problem}
 
\end{document}