Koło matematyczne I LO w Białymstoku

Przepraszam wszystkich z pierwszych klas, którzy nie doczekali się kółka w tamtym tygodniu. Spróbowałem uzgodnić, że starsi podrzucą Wam zadania, ale nie wyszło to, niestety. Yogi

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Sat Nov 19 01:00 PM 2011 C
% Last Change: Sat Nov 19 01:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
 
}
{\hfill\par}
 
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
 
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
 
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{8cm}
%\include{style}
 
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{22--29 listopada 2011}
\begin{document}
\section{Zadania z~Delty}
 
\emph{Zadania są przeznaczone dla obu grup, choć ostatnie dwa, a~zwłaszcza
ostatnie, będą dla młodszych bardzo trudne.}
 
\begin{problem}
    Dane są liczby rzeczywiste $a \geq 1, b\geq 2, c\geq 3$. Uzasadnij, że
    $abc \geq a + b + c$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Dany jest trójkąt $ABC$, w~którym $AB = AC$ oraz $ \angle BAC = 90^\circ$.
    Punkty $D$ i~$E$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i~$AC$, przy czym $|AD| =
    |CE|$. Prosta przechodząca przez punkt $A$ i~prostopadła do prostej $DE$
    przecina prostą $BC$ w~punkcie $P$. Wykaż, że $|AP| = |DE|$.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    W~czworokącie wypukłym $ABCD$ przekątne $AC$ i~$BD$ są równej długości.
    Punkty $M$ i~$N$ są odpowiednio środkami boków $AD$ i~$BC$. Wykaż, że
    prosta $MN$ tworzy równe kąty z~przekątnymi.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Czy liczbę $2^{2005}$ da się przedstawić w~postaci sumy kwadratów czterech
    liczb całkowitych \textbf{dodatnich}?
 
    \emph{Skądinąd: dziwne, ale prawdziwe jest, że każdą liczba naturalna jest
    sumą kwadratów czterech liczb całkowitych nieujemnych. Jak to
    przedstawienie wygląda dla $2^{2005}$?}
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Ciąg $d_1,d_2,\dots$ liczb naturalnych jest zdefiniowany w~ten sposób, że
    dla $n=1,2,\dots$ liczba $d_{n+1}$ jest liczbą dodatnich dzielników $d_n$.
    Rozstrzygnij, dla jakich wartości $d_1 > 1$ ciąg $(d_n)$ nie zawiera
    kwadratów liczb całkowitych.
\end{problem}
 
\begin{problem}
    Na bokach równoległoboku zbudowano, po zewnętrznej jego stronie, kwadraty
    o~środkach $O_1,O_2,O_3,O_4$. Dowiedź, że $O_1O_2O_3O_4$ jest kwadratem.
\end{problem}
 
\subsection{Dwa zadania na prostą pomocniczą}
\emph{Zadania pochodzą ze Staszica.}
 
\begin{problem}
    Dowiedź, że dla liczb dodatnich $a, b, c$ zachodzi nierówność
    \[
    \frac{a}{(b+c)^2} +\frac{b}{(a+c)^2} + \frac{c}{(a+b)^2} \geq
    \frac{9}{4(a+b+c)}.
    \]
    \emph{Da się prostą pomocniczą, można też ciągami jednomonotonicznymi.}
\end{problem}
 
\begin{problem}[Zadanie $\star$]
    Udowodnij, że jeśli $x, y, z$ są liczbami dodatnimi, to zachodzi
    \[
    \frac{\sqrt{y+z}}{x} + \frac{\sqrt{z+x}}{y} + \frac{\sqrt{x+y}}{z} \geq
    \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{x+y+z}}.
    \]
\end{problem}
 
\end{document}