|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zad.tex
% Created: Sat Nov 19 01:00 PM 2011 C
% Last Change: Sat Nov 19 01:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\vskip 3mm
\noindent\emph{#1}
}
{\hfill\par}
\newcounter{problem}
\newenvironment{problem}[1][Zadanie]{
\stepcounter{problem}
\vskip 3mm
\noindent{\textsc{\bfseries #1 \theproblem}}\\}
{\hfill\par}
\def\abs #1{\left\vert #1\right\vert}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{../}{style.sty}
\def\sectionwidth{8cm}
%\include{style}
\def\headpicture{../micek-2cm.jpg}
\def\author{Joachim Jelisiejew}
\def\date{22 listopada 2011}
\begin{document}
\section{Zadania z~Delty}
\emph{Zadania są przeznaczone dla obu grup, choć ostatnie dwa, a~zwłaszcza
ostatnie, będą dla młodszych bardzo trudne.}
\begin{problem}
Dane są liczby rzeczywiste $a \geq 1, b\geq 2, c\geq 3$. Uzasadnij, że
$abc \geq a + b + c$.
\end{problem}
\begin{problem}
Dany jest trójkąt $ABC$, w~którym $AB = AC$ oraz $ \angle BAC = 90^\circ$.
Punkty $D$ i~$E$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i~$AC$, przy czym $|AD| =
|CE|$. Prosta przechodząca przez punkt $A$ i~prostopadła do prostej $DE$
przecina prostą $BC$ w~punkcie $P$. Wykaż, że $|AP| = |DE|$.
\end{problem}
\begin{problem}
W~czworokącie wypukłym $ABCD$ przekątne $AC$ i~$BD$ są równej długości.
Punkty $M$ i~$N$ są odpowiednio środkami boków $AD$ i~$BC$. Wykaż, że
prosta $MN$ tworzy równe kąty z~przekątnymi.
\end{problem}
\begin{problem}
Czy liczbę $2^{2005}$ da się przedstawić w~postaci sumy kwadratów czterech
liczb całkowitych \textbf{dodatnich}?
\emph{Skądinąd: dziwne, ale prawdziwe jest, że każdą liczba naturalna jest
sumą kwadratów czterech liczb całkowitych nieujemnych. Jak to
przedstawienie wygląda dla $2^{2005}$?}
\end{problem}
\begin{problem}
Ciąg $d_1,d_2,\dots$ liczb naturalnych jest zdefiniowany w~ten sposób, że
dla $n=1,2,\dots$ liczba $d_{n+1}$ jest liczbą dodatnich dzielników $d_n$.
Rozstrzygnij, dla jakich wartości $d_1 > 1$ ciąg $(d_n)$ nie zawiera
kwadratów liczb całkowitych.
\end{problem}
\begin{problem}
Na bokach równoległoboku zbudowano, po zewnętrznej jego stronie, kwadraty
o~środkach $O_1,O_2,O_3,O_4$. Dowiedź, że $O_1O_2O_3O_4$ jest kwadratem.
\end{problem}
\end{document}
|
