Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: 2.tex
%     Created: Mon Apr 18 09:00 AM 2011 C
% Last Change: Mon Apr 18 09:00 AM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
 
\begin{document}
 
\newcommand{\content}
{
\section{Eliminacje~--- klasy drugie}
\begin{enumerate}
    \item Wyznacz wszystkie liczby całkowite $k$, dla których
        $\frac{k^2 + 50}{k + 5}$ jest liczbą całkowitą.
    \item Na kółku Yogiego Seba przepisywał zadanie: ``Rozważmy wszystkie
        ciągi $2011$ liczb całkowitych $(x_1, x_2, \dots, x_{2011})$
        takie, że $x_1 = 1, 0\leq x_2 \leq 2x_1, 0\leq x_3\leq
        2x_2,\dots,0\leq x_{2011}\leq 2x_{2010}$. Powiedz, dla którego z tych
        ciągów wartość wyrażenia \dots jest największa.''
 
        Niestety w~międzyczasie Yogi starł tablicę i~Seba zdążył tylko
        zapamiętać, że zamiast ``\dots'' było wyrażenie postaci $\pm x_1 \pm x_2
        \pm \dots \pm x_{2010} + x_{2011}$.
 
        Udowodnij, że wciąż może on rozwiązać zadanie tj.\ wskazać ciąg, dla
        którego wyrażenie napisane na tablicy miało największą wartość.
    \item Środki okręgów $o_1, o_2, o_3$ leżą na jednej prostej. Okręgi $o_2$
        i~$o_3$ są styczne zewnętrznie w~punkcie $B$, zaś okrąg $o_1$ jest do
        $o_2, o_3$ styczny wewnętrznie. Cięciwa $UW$ okręgu $o_1$ przechodzi
        przez $B$ i~przecina $o_2$ jeszcze w~punkcie $S$, a~$o_3$ jeszcze
        w~punkcie $T$. Wykaż, że $US = TW$.
    \item Udowodnij, że nie istnieje taka liczba wymierna $r$, że liczby $2r^2
        +1, 2r^2 - 1$ są kwadratami liczb wymiernych.
\end{enumerate}
}
 
\content
 
\end{document}