|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zad.tex
% Created: Wed May 25 11:00 PM 2011 C
% Last Change: Wed May 25 11:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb, amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\begin{document}
\section{prePTM}
\subsection{Pierwszaki}
\begin{enumerate}
\item Punkt $D$ należy do wnętrza trójkąta $\triangle ABC$. Udowodnić, że
$ \angle ADB > \angle ACB$.
\item Dowieść, że jeśli $a,b,c,x$ są liczbami dodatnimi takimi, że $abc =
1$ to
\[
(x+a)(x+b)(x+c) \geq (x+1)^3.
\]
\item Jaka jest najmniejsza wartość wyrażenia
\[\abs{a_2 - a_1} + \abs{a_3 - a_2} + \dots + \abs{a_n - a_{n-1}} +
\abs{a_1 - a_n}\]
jeżeli ciąg $a_1,\dots,a_n$ jest permutacją ciągu $1,2,\dots,n$?
\item \emph{Być może było u~Seby.} Niech $H$ będzie punktem przecięcia
wysokości trójkąta ostrokątnego $\triangle ABC$, a~punkty $D, E, F$
będą spodkami wysokości tego trójkąta. Wykazać, że $H$ jest środkiem
okręgu wpisanego w~$ \triangle DEF$.
\item Dane są liczby rzeczywiste $a\geq 1, b\geq 2, c\geq 3$. Wykazać, że
\[abc\geq a + b + c.\]
\item Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $x, y, z$ spełniające układ
równań
\[
\left\{\begin{array}[<+position+>]{c}
x + y = 2\\
xy - z^2 = 1.
\end{array}\right.
\]
\end{enumerate}
\subsection{lvl II}
\begin{enumerate}
\item W~okrąg wpisano równoboczny trójkąt $ABC$. Dowieść, że jeśli $M$
jest dowolnym punktem tego okręgu, to jedno z~odległości $MA, MB, MC$
jest równa sumie pozostałych.
\item Niezerowy wielomian $f(x)$ o~współczynnikach rzeczywistych ma
własność, że wielomian $f(x^2 + x + 1)$ jest podzielny przez $f(x)$
tzn. istnieje wielomian $g(x)$ taki, że $f(x)g(x) = f(x^2 + x + 1)$.
Udowodnić, że $f(x)$ ma parzysty stopień.
\item Punkty $A, B, C$ należą do okręgu $o$, punkt $M$ jest środkiem tego
łuku $AB$, który nie zawiera $C$, zaś $N$ jest środkiem tego łuku
$BC$, który nie zawiera $A$. Odcinki $AB, BC$ przecinają $MN$
w~punktach $P, Q$ odpowiednio. Udowodnić, że $BP = BQ$.
\item Liczby $x_1,\dots,x_{2011}\in (0, 1]$ są takie, że jeśli podzielimy je na dwa
zbiory to w~którymś z~nich suma liczb jest nie większa niż $1$.
Uzasadnić, że suma wszystkich liczb jest nie większa niż $3$.
$\star$ Udowodnić, że stałej $3$ nie da się poprawić.
\end{enumerate}
\emph{Zadania geometryczne pochodzą z~książki ``Geometria elementarna'', zaś
niektóre pozostałe zadania~--- z~czasopisma ``Delta''}
\end{document}
|
