Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

 
%        File: zad.tex
%     Created: Thu May 19 11:00 AM 2011 C
% Last Change: Thu May 19 11:00 AM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\include{style}
 
\begin{document}
\section{Przed PTMem\\[-1.5cm]{\small czyli i~tak zrobimy tę pracę domową!}}
 
\subsection{Zadania dla klas pierwszych}
\begin{enumerate}
    \item Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$. Punkty $P, Q, R, S$ są punktami
        przecięcia dwusiecznych kątów zewnętrznych czworokąta $ABCD$.
        Udowodnij, że na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg.
    \item Okręgi $o_1$ i~$o_2$ są styczne zewnętrznie w~punkcie $B$ oraz
        styczne do prostej $k$ w~punktach $A$ i~$C$ odpowiednio. Wykaż, że
        $\angle ABC = 90^\circ$.
    \item Rozstrzygnij, czy równanie $x^2 + y^2 + z^2 = t^2$ ma rozwiązanie
        w~liczbach całkowitych \textbf{dodatnich} $x, y, z, t$.
    \item* Niech $C_n := 2^{2^n} - 1, F_n := 2^{2^n} + 1$. Uzasadnij, że:
        \begin{enumerate}
            \item jeżeli $m \leq n$ to $C_m \Big| C_n$.
            \item dla każdego $m$ zachodzi $F_m \Big| C_{m+1}$, a~więc jeżeli
                $m < n$ to $F_m \Big| C_{n}$.
            \item Liczby $F_n$ i~$F_m$ są względnie pierwsze dla $m\neq n$.
        \end{enumerate}
    \item Eliminacje do konkursu matematycznego składały się z~trzech zadań
        punktowanych w~skali $0, 2, 5, 6$. W~eliminacjach wystartowało $18$
        zawodników. Udowodnij, że pewne dwie osoby uzyskały ten sam wynik. Czy
        liczbę $18$ z~treści zadania można zastąpić mniejszą tak by teza nadal
        zachodziła?
    \item Liczby $a_1,\dots,a_{2011}$ są permutacją liczb $1, 2, \dots, 2011$.
        Uzasadnij, że iloczyn $(a_1 - 1)(a_2 - 2) \dots (a_{2011} - 2011)$
        jest parzysty.
\end{enumerate}
 
\subsection{Zadania dla klas drugich}
\begin{enumerate}
    \item
        Niech $a$ i~$b$ będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Liczbę
        naturalną $n$ nazwiemy \emph{dobrą}, jeżeli istnieją takie liczby
        całkowite \underline{nieujemne} $x,y$, że $n = ax + by$.
 
        \begin{enumerate}
            \item Udowodnić, że liczba $n_0 = (a-1)(b-1)-1$ nie jest dobra,
            \item a~$n_0+1$ i~każda większa jest dobra.
        \end{enumerate}
    \item
        Niech $p$ będzie nieparzystą liczbą pierwszą.
        \begin{enumerate}
 
            \item Uzasadnij, że liczba $a$ jest resztą kwadratową $\mod p$ wtedy i~tylko
        wtedy, gdy $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \mod p$.
            \item Uzasadnij, że jeśli
        $g$ jest generatorem $\mod p$ i~$a$ nie jest resztą
        kwadratową $\mod p$, to $(ag)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \mod p$
        i~w~związku z~tym $ag$ nie jest generatorem $\mod p$.
        \end{enumerate}
    \item
        Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w~okrąg. Punkt $M$ jest środkiem
        przekątnej $AC$ i~$ \angle AMB =  \angle AMD$. Wykazać, że $MA^2 =
        MB\cdot MD$.
    \item
        Dany jest okrąg $o$ oraz punkty $A$ i~$B$. Skonstruować okrąg
        styczny do okręgu $o$, przechodzący przez punkty $A$ i~$B$.
    \item
        Okręgi $o_1$ i~$o_2$ są styczne zewnętrznie w~punkcie $A$. Wspólna
        styczna zewnętrzna tych okręgów przecina prostą łączącą ich środki
        w~punkcie $S$. Prosta przechodząca przez $S$ przecina okręgi $o_1$
        i~$o_2$ kolejno w~punktach $B, C, D, E$. Wykazać, że kąt $ \angle BAD$
        jest prosty.
\end{enumerate}
 
\end{document}