Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Do domu są zadania z paragrafu "zadania kółkowe". "Zadania na dzień dobry" były przeznaczone dla ew. klas pierwszych (nie Filipa i Damiana ;P), które miałyby się pojawić. Pozdrawiam, Yogi

Źródło zadań w texu.

%        File: zad.tex
%     Created: Wed Apr 27 08:00 PM 2011 C
% Last Change: Wed Apr 27 08:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 24cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}

\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
 
\begin{document}
\section{Mix zadaniowy}
 
\subsection{Zadania na dzień dobry}
\begin{enumerate}
    \item Ambasadorów $2009$ państw posadzono przy okrągłym stole, na którym
        umieszczone są proporczyki państw. Niestety żaden ambasador nie siedzi
        przy proporczyku swojego państwa. Uzasadnij, że można tak obrócić
        stół, że co najmniej dwóch ambasadorów będzie siedziało przy właściwych
        proporczykach.
    \item Dla jakich liczb całkowitych $n$ liczba $1! + 2! + \dots + n!$ jest
        kwadratem liczby całkowitej?
    \item Na ile sposobów da się pokryć kwadrat $15 \times 15$ kwadratami
        $3\times 3$ i $5\times 5$?
     \item Dany jest graf nieskierowany, prościej mówiąc wierzchołki
     połączone krawędziami (co najwyżej jedna krawędź pomiędzy dwoma
     różnych wierzchołkami, nie ma krawędzi prowadzących z wierzchołka
     do tego samego wierzchołka). \emph{Stopniem} wierzchołka nazywamy ilość
     krawędzi wychodzących z tego wierzchołka. Uzasadnić, że pewne dwa
     wierzchołki mają ten sam stopień.
\end{enumerate}
 
\subsection{Zadania kółkowe}
\begin{enumerate}
    \item
        Niech $a$ i~$b$ będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Liczbę
        naturalną $n$ nazwiemy \emph{dobrą}, jeżeli istnieją takie liczby
        całkowite \underline{nieujemne} $x,y$, że $n = ax + by$.
 
        \begin{enumerate}
            \item Udowodnić, że liczba $n_0 = (a-1)(b-1)-1$ nie jest dobra,
            \item a~$n_0+1$ i~każda większa jest dobra.
        \end{enumerate}
    \item
        Niech $p$ będzie nieparzystą liczbą pierwszą.
        \begin{enumerate}
 
            \item Uzasadnij, że liczba $a$ jest resztą kwadratową $\mod p$ wtedy i~tylko
        wtedy, gdy $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \mod p$.
            \item Uzasadnij, że jeśli
        $g$ jest generatorem $\mod p$ i~$a$ nie jest resztą
        kwadratową $\mod p$, to $(ag)^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \mod p$
        i~w~związku z~tym $ag$ nie jest generatorem $\mod p$.
        \end{enumerate}
    \item
        Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w~okrąg. Punkt $M$ jest środkiem
        przekątnej $AC$ i~$ \angle AMB =  \angle AMD$. Wykazać, że $MA^2 =
        MB\cdot MD$.
    \item
        Dany jest okrąg $o$ oraz punkty $A$ i~$B$. Skonstruować okrąg
        styczny do okręgu $o$, przechodzący przez punkty $A$ i~$B$.
    \item
        Okręgi $o_1$ i~$o_2$ są styczne zewnętrznie w~punkcie $A$. Wspólna
        styczna zewnętrzna tych okręgów przecina prostą łączącą ich środki
        w~punkcie $S$. Prosta przechodząca przez $S$ przecina okręgi $o_1$
        i~$o_2$ kolejno w~punktach $B, C, D, E$. Wykazać, że kąt $ \angle BAD$
        jest prosty.
\end{enumerate}
 
\end{document}