Koło matematyczne I LO w Białymstoku

 
Zadania PDF.

Źródło zadań w texu.

%        File: zad.tex
%     Created: Sun Mar 27 05:00 PM 2011 C
% Last Change: Sun Mar 27 05:00 PM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 26cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
 
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
 
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
 
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\Źródło: #1}
 
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
 
\subimport{../}{style}
%\include{style}
 
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-0.75in}
 
\section{Równość!\\[-1.3cm]{\scriptsize(czyli koniec nierówności)}}
 
\subsection{Przypomnienie}
\begin{enumerate}
    \item \begin{thm}[Średnie] Jeżeli liczby $a_1,a_2\cdots,a_n$ są dodatnie, to
            \[\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\leq
            \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\leq
            \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}\]
            \emph{W~dowolnej z~nierówności równość zachodzi wtedy i~tylko
            wtedy, gdy $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.}
        \end{thm}
        \emph{Uwaga: jeżeli wyrażenia mają sens również gdy $a_1,\dots, a_n$
        są nieujemne (np. śr. arytmetyczna i~geometryczna, ale nie
        harmoniczna) to również dla tego przypadku nierówności zachodzą.}
    \item \begin{thm}[Średnie ważone]
            Jeżeli liczby $a_1,\dots,a_n$ są dodatnie, zaś liczby\\
            $w_1,\dots,w_n\in [0, 1]$ sumują się do $1$ to
            \[
            \frac{1}{\frac{w_1}{a_1} + \frac{w_2}{a_2} + \dots +
            \frac{w_n}{a_n}}\leq a_1^{w_1}\cdot a_2^{w_2} \cdot \dots \cdot a_n^{w_n} \leq
            w_1a_1 + \dots + w_na_n \leq \sqrt{w_1a_1^2 + \dots + w_na_n^2}.
            \]
        \end{thm}
 
        \emph{Dla każdej nierówności prawdą jest, że równość zachodzi wtedy
        i~tylko wtedy, gdy $a_1 = a_2 = \dots = a_n$, w~przypadku, gdy $w_i >
        0$.}
    \item \begin{thm}[Nierówność Schwarza]
            Jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą, a
            $u_1,u_2,\dots,u_n,t_1,t_2,\dots,t_n$ są liczbami
            rzeczywistymi to
            \[(u_1^2 + \dots + u_n^2)(t_1^2 + \dots + t_n^2) \geq
            (u_1t_1 + \dots + u_nt_n)^2\]
            \emph{Równość zachodzi wtedy i~tylko wtedy, gdy istnieje taka
            stała $C$, że $u_i = Ct_i$ dla wszystkich $i$.}
        \end{thm}
    \item
        \def\abs#1{\left| #1 \right|}
        \begin{thm}[* Nierówność Ptolemeusza]
            Dla każdych czterech punktów na płaszczyźnie $A, B, C, D$ zachodzi
            \[
            \abs{AB}\cdot\abs{CD} + \abs{BC}\cdot \abs{DA} \geq
            \abs{AC}\cdot\abs{BD}.
            \]
        \end{thm}
    \item \begin{lem}[Taka sobie nierówność $\ddot\smile$]
            Jeśli liczby $x, y, z$ są nieujemne to
            \[
            (x + y - z)(y + z - x)(z + x - y)\leq xyz.
            \]
        \end{lem}
\end{enumerate}
 
\subsection{Zadania domowe}
\begin{enumerate}
    \item Niech ciąg liczb $a_0, a_1,\dots,a_n$ będzie zdefiniowany przez
        \[
        a_0 = 3, \quad (3 - a_{n+1})(6 + a_n) = 18
        \]
        Oblicz, w~zależności od $n$, sumę $\sum_{i=0}^n \frac{1}{a_i}$.
    \item Niech $x$ będzie liczbą rzeczywistą z~przedziału $\left[
        \frac{3}{2}, 5\right]$. Udowodnij, że
        \[
        2\sqrt{x+1} + \sqrt{2x - 3} + \sqrt{15 - 3x} < 2\sqrt{19}.
        \]
        \emph{Uwaga: dowody nierówności z~większą stałą po prawej stronie mogą
        być ocenione na 2 pkt (ale nie muszą).}
    \item \begin{thm}[Nierówność Schura]
            Niech $x, y, z$ będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi.
            Udowodnij, że dla każdej liczby dodatniej $r$ zachodzi
            \[
            x^r(x-y)(x-z) + y^r(y-x)(y-z) + z^r(z-x)(z-y) \geq 0.
            \]
        \end{thm}
    \item Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a, b, c$ zachodzi
        \[
        3abc + a^3 + b^3 + c^3 \geq 2\left( (ab)^{\frac{3}{2}} +
        (bc)^{\frac{3}{2}} + (ca)^{\frac{3}{2}} \right).
        \]
    \item Udowodnij, że dla liczb dodatnich $a, b, c$ takich, że $abc = 1$
        zachodzi
        \[
        \left( a - 1 + \frac{1}{b} \right)\left( b - 1 + \frac{1}{c}
        \right)\left( c - 1 + \frac{1}{a} \right) \leq 1.
        \]
\end{enumerate}
 
\end{document}