|
Zadania PDF.
Źródło zadań w texu.
% File: zad.tex
% Created: Fri Mar 18 09:00 AM 2011 C
% Last Change: Fri Mar 18 09:00 AM 2011 C
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\textwidth 16cm
\textheight 26cm
\oddsidemargin 0cm
\topmargin 0pt
\headheight 0pt
\headsep 0pt
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{import}
%\usepackage{MnSymbol}
% ----------------------------------------------------------------
\vfuzz4pt % Don't report over-full v-boxes if over-edge is small
\hfuzz4pt % Don't report over-full h-boxes if over-edge is small
% THEOREMS -------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{cor}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemat}
\newtheorem{defn}[thm]{Definicja}
\newtheorem{tozs}[thm]{Tożsamość}
\newtheorem{hyp}[thm]{Hipoteza}
\newtheorem{useless}[thm]{}
\newenvironment{proof}[1][Dowód. ]{\noindent\textsc{#1}}
{\nolinebreak[4]\hfill$\blacksquare$\\\par}
\newenvironment{sol}[1][Rozwiązanie. ]{
\noindent\textsc{#1}}
{\hfill\par}
\newenvironment{problem}{\noindent\textsc{Zadanie}\\}
{\hfill\par}
\def\deg{^{\circ}}
\def\source#1{\\\emph{Źródło: #1}}
\renewcommand{\thethm}{}
\renewcommand{\angle}{\sphericalangle}
\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\dots}{\ldots}
\subimport{../}{style}
%\include{style}
\begin{document}
\setlength{\topmargin}{-0.6in}
\section{OMG i~wspominki}
\begin{enumerate}
\item Czy istnieją takie liczby całkowite $a$ i~$b$, że liczby
\[
a^2 + b \hbox{ oraz } b^2 + a
\]
są kolejnymi liczbami całkowitymi? Odpowiedź uzasadnij.
\item Punkt $I$ jest środkiem okręgu wpisanego w~trójkąt $ABC$. Okrąg
styczny do $AI$ w~punkcie $I$ i~przechodzący przez punkt $B$ przecina
bok $BC$ w~punkcie $P$ (różnym od $B$). Proste $IP$ i~$AC$ przecinają
się w~punkcie $Q$. Wykaż, że punkt $I$ jest środkiem odcinka $PQ$.
\item Liczby $p$ i~$q$ są różnymi liczbami pierwszymi. Udowodnij, że
liczba $p^2 + q^2$ nie jest podzielna przez liczbę $p + q$.
\item Wewnątrz koła o~promieniu $1$ znajdują się punkty
$A_1,A_2,A_3,\dots,A_{100}$. Udowodnij, że na brzegu tego koła
istnieje taki punkt $P$, dla którego
\[
PA_1 + PA_2 + \dots + PA_{100} \geq 100.
\]
\source{Zadania pochodzą z~finału VI OMG}
\item Rozważmy sześcian $ABCDA'B'C'D'$.
\begin{enumerate}
\item Uzasadnij, że obrót wokół osi $AC'$, w~którym punkt $D'$
przechodzi na $B'$, przenosi sześcian $ABCDA'B'C'D'$ w~siebie
tzn. każdy punkt sześcianu przechodzi na punkt sześcianu.
\item Oblicz, ilukrotne złożenie powyższego obrotu jest
identycznością?
\item Podzielmy sześcian $ABCDA'B'C'D'$ na $27$ sześcianików
jednostkowych. Wskaż sześcianiki, które przechodzą w~siebie
przy ww. obrocie.
\item Niech $\pi$ będzie płaszczyzną prostopadłą do $AC'$
i~przechodzącą przez środek tego odcinka. Uzasadnij, że ww.
obrót zachowuje $\pi$ oraz że ilość
sześcianików, które przecina $\pi$ musi przystawać do $1 \mod
3$.
\item * Rozważ symetrię względem środka sześcianu i~rozszerz
poprzednie rozumowanie, aby wykazać, że ilość sześcianików,
które przecina $\pi$, przystaje do $1 \mod 6$.
\item * Wykaż, że część wspólna $\pi$ i~$ABCDA'B'C'D'$ to
sześciokąt foremny o~wierzchołkach leżących na środkach
tych krawędzi sześcianu, których ``końcem'' (wierzchołkiem) nie jest $A$ lub $C'$.
\end{enumerate}
\item Przypomnijmy, że $\varphi(n)$ oznacza ilość liczb naturalnych względnie
pierwszych z~liczbą całkowitą dodatnią $n$ i~nie większych od $n$. Np.
$\varphi(12) = 4$, $\varphi(p) = p-1$ dla każdej liczby pierwszej $p$,
$\varphi(1) = 1$ itd.
\begin{enumerate}
\item Liczby ze zbioru $\{1,2,\dots,n\}$ możemy w~naturalny sposób
utożsamić z~resztami z~dzielenia przez $n$ (jak ktoś nie
zrozumiał, to nie szkodzi) i~oznaczać $1\mod n, 2\mod n,\dots,
n \mod n$.
\item Niech $n = ab$ będzie takim iloczynem, że $NWD(a,b) = 1$.
Uzasadnij, że liczba $x \mod n$ jest względnie pierwsza z~$n$
wtedy i~tylko wtedy, gdy $x\mod a$ jest względnie pierwsze
z~$a$ i~$x\mod b$ jest względnie pierwsze z~$b$.
\item Uzasadnij, że istnieje dokładnie $\varphi(a)\varphi(b)$
liczb względnie pierwszych z~$n$ i~mniejszych od $n$; każda
z~tych liczb jest wyznaczona przez reszty $\mod a$ i~$\mod b$.
\emph{Wskazówka: chińskie o~resztach.}
\item Stąd też $\varphi(n) = \varphi(a)\varphi(b)$ o~ile tylko
$NWD(a,b) = 1$. Podaj przykład, że założenie $NWD(a,b)=1$ jest
istotne.
\item Oblicz ``na piechotę'' $\varphi(p^k)$, gdzie $p$ jest
pierwsze i~udowodnij wzór
\[
\varphi(n) = (p_1^{\alpha_1} - p_1^{\alpha_1 -
1})\cdot (p_2^{\alpha_2} - p_2^{\alpha_2 - 1})\cdot \dots\cdot
(p_n^{\alpha_n} - p_n^{\alpha_n - 1}) = n\left(1 -
\frac{1}{p_1}\right)\dots\left( 1 - \frac{1}{p_n} \right).
\]
jeżeli $n = p_1^{\alpha_1}p_{2}^{\alpha_2}\dots
p_n^{\alpha_n}$ jest rozkładem liczby $n$ na czynniki
pierwsze.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
|
